Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Enunciado

Verificar para cada caso, se o vetor w é combinação linear dos vetores u e v

u = 1 , - 2,1 ,   v = 2,1 , - 1 ,   w = ( 7,1 , - 2 )

Passo 1

Faaaaaaaaaaala aí, tudo certinho? Vamos para uma questãozinha de combinação linear!

Combinação linear é a representação de um vetor (na nossa questão w ) a partir de operações com outros vetores ( na nossa questão   u e v )

Então vamos lá, temos que fazer operação com u e v para chegarmos em w , fazendo multiplicações e somas, vamos escrever desse jeitinho aqui

a 1 ⋅ u + a 2 ⋅ v = w

E vamos ver se isso é possível ou não

Passo 2

Substituindo o vetor u , v e w   na expressão do passo 1, temos

a 1 1 , - 2,1 + a 2 2,1 , - 1 = 7,1 , - 2

Fazendo a distributiva, ficamos com

a 1 , - 2 a 1 , a 1 + 2 a 2 , a 2 , - a 2 = 7,1 , - 2

Somando os vetores, ficamos com

a 1 + 2 a 2 , - 2 a 1 + a 2 , a 1 - a 2 = 7,1 , - 2

O que vamos fazer é igualar os valores que estão “na mesma virgula” desse jeitinho aqui

a 1 + 2 a 2 = 7 - 2 a 1 + a 2 = 1 a 1 - a 2 = - 2

Passo 3

Show, vamos partir pra cima desse sisteminha então!

a 1 + 2 a 2 = 7 - 2 a 1 + a 2 = 1 a 1 - a 2 = - 2

Vamos dar uma olhada só nas duas últimas linhas, e vamos começar somando essas duas linhas

- 2 a 1 + a 2 + a 1 - a 2 = 1 - 2

- a 1 = - 1

a 1 = 1

Passo 4

Uhul, achamos a 1 agora para acharmos a 2 , vamos escolher uma linha e substituir o valor de a 1 , vamos usar a última linha também porque ela é mais bonitinha heeh

a 1 - a 2 = - 2

Substituindo o valor de a 1 , temos que:

1 - a 2 = - 2

- a 2 = - 2 - 1

- a 2 = - 3

a 2 = 3

Uhul, achamos dois valores de a 1 e a 2   então w é C.L de u e v ! Sendo que a 1 = 1 e a 2 = 3

Resposta

w é C.L de u e v ! Sendo que a 1 = 1 e a 2 = 3