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Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Exercício 41235678910

Enunciado

Verificar se o vetor z = ( 2,1 , 2 ) é combinação linear de u = 3,2 , 1 ,   v = 1,0 , 1 e w = ( 3,1 , 0 ) .

Passo 1

Faaaala aí! Vamos para cima de mais uma questãozinha de combinação linear!

Combinação linear é a representação de um vetor (na nossa questão z ) a partir de operações com outros vetores ( na nossa questão   u ,   v e w ) .

Então vamos lá, temos que fazer operação com u , v e w para chegarmos em z , fazendo multiplicações e somas, vamos escrever desse jeitinho aqui

a 1 ⋅ u + a 2 ⋅ v + a 3 ⋅ w = z

Passo 2

Vamos ver aqui como fica substituindo os vetores pelos seus valores!

a 1 3,2 , 1 + a 2 1,0 , 1 + a 3 ( 3,1 , 0 ) = 2,1 , 2

Fazendo a distributiva, ficamos com

3 a 1 + 2 a 1 + a 1 + a 2 + 0 + a 2 + ( 3 a 3 , a 3 , 0 ) = 2,1 , 2

Somando os vetores, ficamos com

3 a 1 + a 2 + 0,2 a 1 + 0 + a 3 , a 1 + a 2 + 0 = ( 2,1 , 2 )

O que vamos fazer é igualar os valores que estão “na mesma virgula” desse jeitinho aqui

3 a 1 + a 2 + 3 a 3 = 2 2 a 1 + a 3 = 1 a 1 + a 2 = 2

Passo 3

Vamos partir pra cima desse sisteminha!

3 a 1 + a 2 + 3 a 3 = 2 2 a 1 + a 3 = 1 a 1 + a 2 = 2

A primeira coisa que a gente vai fazer é, pegar essa última linha e jogar o a 1 para o outro lado, ficando com isso daqui:

a 2 = 2 - a 1

Vamos pegar isso e colocar nas duas linhas de cima!

3 a 1 + 2 - a 1 + 3 a 3 = 2 2 a 1 + a 3 = 1

Vamos ajeitar essa primeira linha que está bem feinha!

2 a 1 + 3 a 3 = 0 2 a 1 + a 3 = 1

Bora subtrair essas linhas para achar a 3

2 a 1 + 3 a 3 - ( 2 a 1 + a 3 ) = 0 - 1

Ajeitando isso daí, temos

2 a 3 = - 1

a 3 = - 1 2

Passo 4

Show, achamos a 3 , agora vamos ver quanto vale a 1 a partir disso!

Temos, pela segunda linha que

2 a 1 + a 3 = 1

2 a 1 - 1 2 = 1

Passando esse - 1 2 para o outro lado, temos:

2 a 1 = 1 + 1 2

2 a 1 = 2 2 + 1 2

2 a 1 = 3 2

a 1 = 3 2 ⋅ 1 2

Isso dá pra gente

a 1 = 3 4

Passo 5

Só falta nosso a 2 ! Para isso vamos usar a última linha do nosso sisteminha

a 1 + a 2 = 2

3 4 + a 2 = 2

a 2 = 2 - 3 4

a 2 = 8 4 - 3 4

Isso dá pra gente que

a 2 = 5 4

Show, então z é C.L. de u , v e w com a 1 = 3 4 , a 2 = 5 4 e a 3 = - 1 2

Resposta

z é C.L. de u , v e w com a 1 = 3 4 , a 2 = 5 4 e a 3 = - 1 2