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Exercícios Resolvidos de Condições de Contorno

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Exercício 41235678

Enunciado

(Adaptada) Um líquido escoa para baixo sobre uma superfície plana inclinada em um filme laminar, permanente, completamente desenvolvido e de espessura h . Considerando as equações da continuidade e Navier-Stokes simplificadas abaixo, obtenha expressões para o perfil de velocidades do líquido, a distribuição de tensões de cisalhamento, a vazão volumétrica e velocidade média. Relacione a espessura do filme de líquido com a vazão volumétrica por unidade de água com espessura h   =   1   m m , escoando sobre uma superfície de largura b   =   1   m , inclinada de θ = 15 ° em relação à horizontal.

Equação da continuidade simplificada

∂ v ∂ y = 0

Equação de Navier-Stokes simplificada

0 =   ρ g x + μ ∂ 2 u ∂ y 2

0 =   ρ g y + ∂ p ∂ y

Passo 1

UAU! Esse exercício pediu coisa para caramba, mas nem deu tanta informação assim! Quem poderá nos defender?

Primeiro, vamos ilustrar o que está acontecendo:

Temos duas condições de contorno. Uma delas é a condição de não deslizamento. Na placa, ou seja em y = 0, a velocidade u do fluido é 0, pois a placa está parada.

u   =   0   e m   y   =   0

A outra está relacionada a superfície livre, ou seja, na superfície do fluido mais distante da placa (y=h). Já que não há um sólido ali para que seja possível aplicar uma força paralela ao movimento, podemos considerar que a tensão de cisalhamento ali é zero!

τ x y y = h =   0

Lembrando que a água é um fluido newtoniano, vale a Lei de Newton da Viscosidade

τ x y =   μ d u d y

Logo, a taxa de deformação du/dy será zero em y = h

d u d y y = h = 0

Essas são as condições de contorno que vão nos ajudar a resolver a questão. Vamos voltar para as equações então?

Passo 2

As equações de Navier-Stokes simplificadas para esse caso foram dadas no enunciado e são essas aqui:

0 =   ρ g x + μ ∂ 2 u ∂ y 2

0 =   ρ g y + ∂ p ∂ y

Para descobrir o perfil de velocidade que o enunciado pediu, vamos integrar a primeira equação, beleza? Vamos isolar o termo no qual a velocidade u aparece!

0 =   ρ g x + μ ∂ 2 u ∂ y 2   ⇒   d 2 u d y 2 = - ρ g x μ

Daí, pela geometria do problema, a componente da gravidade na direção x é:

g x = g   s e n   θ

Substituindo em Navier-Stokes

d 2 u d y 2 = - ρ g s e n   θ μ

Agora sim, hora de integrar. No lado direito, nenhuma variável depende de y 😉

d u d y = - ρ g s e n   θ μ y +   c 1

Precisamos integrar mais uma vez

u = - ρ g s e n   θ μ y 2 2 + c 1 y + c 2

Passo 3

Para descobrir c 1 e c 2 , vamos aplicar as condições do contorno no Passo 1. A primeira foi a condição de não deslizamento:

u   =   0   e m   y   =   0

Aplicando no perfil de velocidade

0 = - ρ g s e n   θ μ 0 2 2 + c 1 0 + c 2

c 2 = 0

Atualizando o perfil de velocidade:

u = - ρ g s e n   θ μ y 2 2 + c 1 y

A segunda condição de contorno foi da tensão cisalhante na superfície livre (y=h)

d u d y y = h = 0

A expressão de du/dy é

d u d y = - ρ g s e n   θ μ y +   c 1

Em y=h:

d u d y y = h = - ρ g s e n   θ μ h +   c 1

0 = - ρ g s e n   θ μ h +   c 1

Logo

c 1 = ρ g h s e n   θ μ

Atualizando o perfil de velocidades

u = - ρ g s e n   θ μ y 2 2 + ρ g h s e n   θ μ y

Colocando em evidência

u = ρ g s e n   θ μ h y - y 2 2

Show! Encontramos o perfil de velocidades usando as condições de contorno! Com ele dá para achar a expressão da tensão cisalhante

Passo 4

Para achar a distribuição de tensão de cisalhamento, vamos usar a Lei de Newton da Viscosidade

τ x y =   μ d u d y

No passo anterior descobrimos u, logo du/dy é:

d u d y = ρ g s e n   θ μ h - y

Substituindo na Lei de Newton da Viscosidade:

τ x y =   μ ρ g s e n   θ μ h - y

τ x y =   ρ g s e n   θ   h - y

E essa é a distribuição de tensão cisalhante

Passo 5

Agora é a vez da vazão volumétrica. Vamos usar a definição de vazão:

Q =   ∫ A u d A

A área é a área transversal do escoamento. É uma largura b (entrando na tela) multiplicada pela altura y

Q =   ∫ 0 h u b d y

Sabemos que u é o perfil de velocidade

Q =   ∫ 0 h ρ g s e n   θ μ h y - y 2 2 b d y

Integrando

Q =   ρ g b   s e n   θ μ h 3 2 - h 3 6

Q =   ρ g b   s e n   θ μ h 3 3

Essa é a vazão volumétrica :D Suuucesso! Agora, vamos calcular a velocidade média.

Passo 6

Sei que é muita coisa, mas a velocidade média já tá quase toda calculada. Ela é vazão volumétrica sobre área transversal

V - =   Q A

Acabamos de calcular Q, vamos substituir

V - =   ρ g b   s e n   θ μ h 3 3 b h

Simplificando

V - =   ρ g   s e n   θ μ h 2 3

Viu! Rapidinho achamos :D

Passo 7

Finalmente, vamos lembrar da última parte do enunciado

“Relacione a espessura do filme de líquido com a vazão volumétrica em um filme de água com espessura h   =   1   m m , escoando sobre uma superfície de largura b   =   1   m , inclinada de θ = 15 ° em relação à horizontal.”

Traduzindo: encontre a vazão volumétrica utilizando esses números indicados na figura

Lembrando que já calculamos a expressão da vazão volumétrica

Q =   ρ g b   s e n   θ μ h 3 3

Substituindo b = 1   m ,     h   =   1   m m = 0,001   m ,   θ = 15 °

Q =   ρ g . 1 .   s e n   15 ° μ 0,001 3 3

Como o fluido é a água

Q =   1000.9,8.1 .   s e n   15 ° 0,001 0,001 3 3

Q = 8,5 . 10 - 4   m 3 / s

Q = 0,85   L / s

YAY! Fechamos o exercício 😉 Foi longo, mas olha quanta coisa conseguimos achar utilizando as condições de contorno em Navier-Stokes!

Resposta

Perfil de velocidade

u = ρ g s e n   θ μ h y - y 2 2

Distribuição de tensões de cisalhamento

τ x y =   ρ g s e n   θ   h - y

Expressão de vazão volumétrica

Q =   ρ g b   s e n   θ μ h 3 3

Velocidade média

V - =   ρ g   s e n   θ μ h 2 3

Vazão volumétrica para b = 1   m ,     h   =   1   m m = 0,001   m ,   θ = 15 °

Q = 0,85   L / s

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