Exercícios Resolvidos de Condições de Contorno

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Enunciado

Para o filme líquido (viscoso) de espessura constante sendo drenado na figura a seguir, quais são as condições de contorno apropriadas (a) no fundo em y = 0 e (b) na superfície em y = h?

Passo 1

Esse exercício nos pede as condições de contorno. Analisando o fundo desse escoamento, ou seja, onde y = 0, temos uma parede, certo?

Isso significa que temos uma condição de fronteira. Assim, podemos aplicar em y   =   0 , a condição de não deslizamento, ou a hipótese de não-escorregamento

V p a r e d e = V f l u i d o f u n d o

Nesse exercício, a velocidade é u ( y ) , logo

V f l u i d o = u ( y ) y = 0 = u ( 0 )

Como a parede está parada (no enunciado não há nada informando se a superfície está em movimento), então a velocidade do fluido naquele ponto será zero

V p a r e d e = 0 = u ( 0 )

Então, a condição de contorno no fundo é

u 0 = 0

Passo 2

Agora vamos analisar a superfície superior do escoamento, ou seja, onde y = h

Nessa parte não há uma parede. Então não podemos aplicar a condição de não deslizamento. Porém, se não há parede (placa ou barreira), não há tensão cisalhante

Considerando que o fluido é newtoniano, ele obedece a Lei de Newton da Viscosidade

τ x y = μ d u d y

A tensão cisalhante é 0 em y = h, logo

τ x y = μ d u d y y = h = 0

No fluido newtoniano, a viscosidade é constante, então:

d u d y y = h = 0

E essa é a condição de contorno na superfície em y = h.

Resposta

a)

u 0 = 0

b)

d u d y y = h = 0

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