Exercícios Resolvidos de Conjunto de Aletas

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Enunciado

(Adaptada) Propõe-se para o resfriamento do ar de um cilindro de câmara de combustão a colocação de um conjunto de aletas anulares ( k a = 240   W . m - 1 . K - 1 ) na parede do cilindro ( k p =   50   W . m - 1 . K - 1 ).

O ar está a 320   K e o coeficiente de convecção correspondente é 100   W . m - 2 . K - 1 . Mesmo o aquecimento da superfície interna sendo periódico, é razoável considerar condições de regime estacionário com um fluxo de calor médio de q i ' '   = 10 5   W . m - 2 .

Considerando desprezível a residência de contato entre a parede e a aleta, determine a temperatura interna da parede ( T i ).

Passo 1

Podemos representar a situação com o seguinte esquema:

O circuito que representa o sistema é ilustrado abaixo:

Em que:

R c d , p = ln ⁡ r 1 / r i 2 π . k p . L                   ;                 R c d , a = ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . k a . L                   ;                   R c v , b = 1 h . A b                 ;                 R t , a = 1 η a . h . A t

Passo 2

A gente pode, então, escrever a taxa de calor em termos das resistências:

q = T s , i - T ∞ R c d , p + R c d , a + R t , a

Bora calcular as resistências! Começando pela condução na parede:

R c d , p ' = ln ⁡ r 1 / r i 2 π . k p

R c d , p ' = ln ⁡ 0,066   m 0,060   m 2 π . 50   W . m - 1 . K - 1

R c d , p ' = 3,03   x   10 - 4   m . K . W - 1

Para a condução na base da aleta:

R c d , a ' = ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . k a

R c d , a ' = ln ⁡ 0,070   m 0,066   m 2 π . 240   W . m - 1 . K - 1

R c d , a ' = 3,90   x   10 - 5   m . K . W - 1

Para a convecção na base da aleta:

R c v , b ' = 1 h . A b

Como a espessura da aleta ( t ) e o espaçamento entre elas ( δ ) são iguais, a gente pode considerar que a área da base ( A b ) é metade de toda a área cilíndrica (se não tivesse aletas) e metade é ocupada por aletas. Sendo assim:

R c v , b ' = 1 h . 1 2 . 2 π . r 2

R c v , b ' = 1 100   W . m - 2 . K - 1 . 1 2 . 2 π .   0,070   m

R c v , b ' = 4,547   x   10 - 2   m . K . W - 1

Passo 3

Agora, bora calcular a resistência térmica do sistema aletado:

R t , a = 1 η a . h . A t

Temos que determinar a eficiência da aleta ( η a ). Para isso, vamos utilizar o gráfico desse tipo de geometria:

Precisamos, então, saber qual das quatro curvas representa nosso problema e qual o valor de x do gráfico. Então, bora lá:

r 2 c = r o + t 2

Passo 4

Agora, vamos à resistência que mais interessa:

  • Resistência térmica de uma aleta anular simples:

R t , a = 1 h . A a . η a

Da expressão aqui em cima, a gente só sabe o coeficiente h , mas precisamos determinar a área ( A a ) e eficiência da aleta ( η a ).

A área da aleta é essa área aqui em vermelho:

Então, a gente pode escrever que:

A a = A l a t e r a l + 2 . A d i s c o

Mas a gente pode usar aquela estratégia do raio corrigido ( r 2 c ), que é quando a gente assume que a contribuição da área lateral é adicionada à área do disco. Sendo assim:

A a = 250 . 2 . A d i s c o c

A a = 250 . 2 . π . r 2 c 2 - π . r 2 2

A a = 500 . π . r 2 c 2 - r 2 2

Em que:

r 2 c = r o + t 2               →             r 2 c = 0,095   m + ( 0,002   m ) 2                   →               r 2 c = 0,096   m

Substituindo os valores do enunciado:

A a = 500 . π . 0,096   m 2 - 0,070   m 2

A a = 6,78   m 2

Passo 5

Agora só falta a eficiência ( η a )! Pra calcular a eficiência desse formato de aleta (anular), a gente tem que utilizar o gráfico que já vimos:

Para determinar a eficiência, a gente precisa então saber qual das quatro curvas representa a nossa aleta e calcular com o valor desse eixo x aí loucão. Então, bora lá!

Bora calcular o valor de x do gráfico:

x = L c 3 / 2 . h k . A p 1 / 2

Em que L c e A p são calculados pelas expressões mostradas no gráfico:

L c = r e - r 2 + t 2  

L c = [ 0,095 - 0,070   m ] + ( 0,002   m ) 2

L c = 0,026   m

Além disso:

A p = L c . t

A p = 0,026   m . ( 0,002   m )

A p = 5,2 x 10 - 5   m ²

Ufa! Agora a gente pode finalmente calcular o valor de x:

x = 0,026   m 3 / 2 . 100   W . m - 2 . K - 1 240   W . m - 1 . K - 1 . 5,2 x 10 - 5   m ² 1 / 2

x = ~ 0,375

Pra saber qual das curvas serve pra gente, precisamos calcular a razão entre os raios:

r 2 c r 2 = 0,096   m 0,070   m                     →                             r 2 c r 1 = ~ 1,7

Não tem nenhuma curva com esse valor, mas a gente pode colocar mais ou menos entre as curvas de razão igual a 1 e 2 , um pouco mais próximo da curva de 1 .

Agora a gente já pode marcar no gráfico a posição da abscissa e ver a eficiência correspondente:

Concluimos, assim, que:

η a = 0,88

Passo 6

Com a área e eficiência calculadas, a gente pode finalmente determinar a resistência térmica da aleta:

R t , a = 1 h . A a . η a

R t , a = 1 100   W . m - 2 . K - 1 . 6,78   m 2 . 0,88

Logo:

R t , a = 1,68   x   10 - 3   K . W - 1

Passo 7

Como a gente viu, a taxa de calor por ser escrita como:

q i = T i - T ∞ R c d , p + R c d , a + R t , a

E a taxa pode ser escrita em termos do fluxo:

q i = q ' ' . A i

q i = q i ' ' . ( 2 π . r i . L )

Dividindo a expressão pelo comprimento:

q i ' = q i ' ' . ( 2 π . r i )

q i ' = 10 5   W . m - 2 . 2 π . 0,060   m

q i ' = 37,7   k W . m - 1

Isolando a temperatura da superfície mais interna ( T s , i ), a gente fica com:

T i = T ∞ + q i ' . ( R c d , p ' + R c d , a ' + R t , a ' )

T i = 320   K + 37,7   k W . m - 1 . 3,03   x   10 - 4 + 3,90   x   10 - 5 + 1,68   x   10 - 3   K . W - 1

T i = 396,2   K

Resposta

T i = 396,2   K

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