Uma substância escoa nos tubos indicados na figura abaixo. Um tanque com ar está conectado a esses tubos através de quatro ramificações com seções transversais circulares. Cada ramificação possui uma válvula. Abrem-se as válvulas e o tanque esvazia através das ramificação e ao mesmo tempo em que enche através da ramificação e . O ar sai pela ramificação com uma velocidade média de e entra pela ramificação com velocidade média de . Além disso, o ar sai do tanque pela ramificação com uma velocidade média de e entra no tanque pela ramificação 4 com velocidade média de . Considere que a pressão do ar em todas as ramificações é igual a . As temperaturas do ar nas ramificações , , e valem , , e respectivamente. Sabendo que os diâmetros das ramificações , , e valem , , e respectivamente, calcule a taxa de variação da massa de ar no tanque.
Passo 1
O exercício pede para a gente calcular a taxa de de variação da massa do tanque . Isso significa que precisamos calcular a quantidade de massa que sai do tanque por segundo. Fazemos isso através da fórmula abaixo. Ela mostra que o acúmulo de massa dentro do tanque é igual à quantidade de massa que entra menos a quantidade de passa que sai do tanque .
onde:
- é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo ;
- é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo .
A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos.
, , e presentes na figura são as velocidades do ar passando pelas ramificações , , e . , , e são os diâmetros das ramificações , , e . , , e são as temperaturas do ar que passa pelas ramificações , , e . , , e são as pressões do ar que passa pelas ramificações , , e .
Ou seja, conhecemos as velocidades, os diâmetros, as temperaturas e as pressões do ar, mas precisamos calcular a taxa de variação da massa de ar no tanque . Para isso, vamos aprender a calcular as vazões mássicas a partir das velocidades , dos diâmetros e do volume específico . Portanto, precisamos primeiro saber calcular o volume específico do ar, usando a equação de gás perfeito.
Passo 2
Para calcular o volume específico do ar, precisamos reorganizar a fórmula de gás perfeito aplicada ao ar.
é a constante do ar. Ela vale . , , e são os volumes específicos do ar que passa pelas ramificações , , e .
Agora precisamos que descobrir como se calcula as vazões mássicas com as informações que temos.
Passo 3
A primeira etapa para calcular através dos dados que nós temos é converter o valor de volume específico do ar em massa específica do vapor .
A segunda etapa é calcular as vazões volumétricas de ar que passam por cada ramificação. Todas as vazões volumétricas são iguais à velocidade média do vapor multiplicada pela área da seção transversal da ramificação .
A terceira etapa é converter vazão volumétrica e vazão mássica . Para isso é só multiplicar as vazões volumétricas por !
O somatório das vazões mássicas de saída é a soma das vazões mássicas das ramificações e .
O somatório das vazões mássicas de entrada é a soma das vazões mássicas das ramificações e .
Sabendo disso, podemos calcualr pela fórmula de conservação de massa.
Passo 4
Iniciamos as contas pelo cálculo dos volumes específicos .
Agora sim podemos calcular .
Passo 5
Primeiro, calculamos .
Depois, achamos .
Por fim, encontramos .