Uma substância escoa nos tubos indicados na figura abaixo. Um tanque com vapor está conectado a esses tubos através de três ramificações com seções transversais circulares. Cada ramificação possui uma válvula. Abrem-se as válvulas e o tanque esvazia através da ramificação ao mesmo tempo em que enche através da ramificação e . O vapor sai pela ramificação com uma velocidade média de e entra pela ramificação com velocidade média de . Além disso, o vapor entra no tanque pela ramificação com uma velocidade média de . O tanque enche a uma taxa de . Sabendo que o diâmetro da ramificação vale , o diâmetro da ramificação vale , calcule o diâmetro da ramificação . Considere que o volume específico do vapor vale .
Passo 1
O exercício pede para a gente calcular o diâmetro da ramificação . Fazemos isso através da fórmula de conservação de massa. Ela mostra que a taxa de variação de massa dentro do tanque é igual à quantidade de massa que entra menos a quantidade de passa que sai do tanque .
onde:
- é a taxa de de variação da massa do tanque. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo ;
- é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo ;
- é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo .
A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos. Além disso ele mostra a incógnita do problema .
, e presentes na figura são as velocidades do vapor passando pelas ramificações , e . é o volume específico da substância. , e são os diâmetros das ramificações , e .
Ou seja, conhecemos as velocidades e dois diâmetros, mas precisamos calcular o diâmetro que falta . Para isso, vamos aprender a calcular as vazões mássicas a partir das velocidades , dos diâmetros e do volume específico .
Passo 2
A primeira etapa para calcular através dos dados que nós temos é converter o valor de volume específico do vapor que o enunciado fornece em massa específica do vapor .
A segunda etapa é calcular as vazões volumétricas de vapor que passam por cada ramificação. Todas as vazões volumétricas são iguais à velocidade média do vapor multiplicada pela área da seção transversal da ramificação .
A terceira etapa é converter vazão volumétrica e vazão mássica . Para isso é só multiplicar as vazões volumétricas por !
O somatório das vazões mássicas de saída é a vazão mássica da ramificação .
O somatório das vazões mássicas de entrada é a soma das vazões mássicas das ramificações e .
Sabendo disso, podemos criar uma fórmula para a partir de equação de conservação de massa.
Passo 3
O diâmetro pode ser calculado diretamente a partir da equação que criamos.