Exercícios Resolvidos de Conservação de Massa do Volume de Controle

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Enunciado

Uma substância escoa nos tubos indicados na figura abaixo. Um tanque com vapor está conectado a esses tubos através de três ramificações, cada uma com uma válvula. Abrem-se as válvulas e o tanque esvazia através das ramificações 1 e 2 ao mesmo tempo em que enche através da ramificação 3 . O vapor sai pela ramificação 1 com uma velocidade média de 2   m / s e passa pela ramificação 2 com velocidade média de 1   m / s . Por outro lado, o vapor entra no tanque pela ramificação 3 com uma velocidade média de 4   m / s . Apesar dessas trocas de massa entre o tanque e as tubulações, a massa de vapor contida dentro do tanque não varia. Sabendo que a área da seção reta da ramificação 1 vale 0,04   m 2 , da ramificação 3 vale 0,03   m 2 , calcule a área da seção transversal da ramificação 2 .

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular área da seção transversal da ramificação 2 . Fazemos isso através da fórmula de conservação de massa. Ela mostra que o acúmulo de massa dentro do tanque é igual à quantidade de massa que entra ∑ m ˙ e menos a quantidade de passa que sai do tanque ∑ m ˙ s .

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

onde:

  • d m V . C . d t é a taxa de de variação da massa do tanque. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ e é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s ;
  • ∑ m ˙ s é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo k g / s .

A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos. Além disso ele mostra a incógnita do problema A 2 .

ν 1 , ν 2 e ν 3 presentes na figura são as velocidades do vapor passando pelas ramificações 1 , 2 e 3 . A 1 , A 2 e A 3 são as áreas das seções transversais das ramificações 1 , 2 e 3 .

Ou seja, conhecemos as velocidades, duas áreas das seções transversais, mas precisamos calcular a área da seção transversal que falta A 2 . Para isso, vamos aprender a calcular as vazões mássicas m ˙ a partir das velocidades ν e das áreas A .

Passo 2

A primeira etapa para calcular m ˙ através dos dados que nós temos é calcular as vazões volumétricas V ˙ de vapor que passam por cada ramificação. Todas as vazões volumétricas são iguais à velocidade média do vapor ν multiplicada pela área da seção transversal da ramificação A .

V ˙ 1 = ν 1 ⋅ A 1

V ˙ 2 = ν 2 ⋅ A 2

V ˙ 3 = ν 3 ⋅ A 3

A segunda etapa é converter vazão volumétrica V ˙ e vazão mássica m ˙ . Para isso é só multiplicar as vazões volumétricas por ρ !

m ˙ 1 = ρ ⋅ V ˙ 1       ⟹       ρ ⋅ ν 1 ⋅ A 1

m ˙ 2 = ρ ⋅ V ˙ 2       ⟹       ρ ⋅ ν 2 ⋅ A 2

m ˙ 3 = ρ ⋅ V ˙ 3       ⟹       ρ ⋅ ν 3 ⋅ A 3

O somatório das vazões mássicas de saída ∑ m ˙ s é a soma de duas vazões mássicas.

∑ m ˙ s = m ˙ 1 + m ˙ 2       ⟹       ∑ m ˙ s = ρ ⋅ ν 1 ⋅ A 1 + ρ ⋅ ν 2 ⋅ A 2

O somatório das vazões mássicas de entrada ∑ m ˙ e é a vazão mássica da ramificação 3 .

∑ m ˙ e = m ˙ 3       ⟹       ∑ m ˙ e = ρ ⋅ ν 3 ⋅ A 3

Como o enunciado diz que a massa de vapor no tanque m V . C . não varia durante o processo de troca de massa, d m V . C . d t vale zero. Em outras palavras, a taxa de variação da massa de vapor presente no tanque d m V . C . d t vale zero, porque m V . C . é constante.

d m V . C . d t = 0

Sabendo disso, podemos criar uma fórmula para A 2 a partir de equação de conservação de massa.

d m V . C . d t = ∑ m ˙ e - ∑ m s ˙

0 = ρ ⋅ ν 3 ⋅ A 3 - ρ ⋅ ν 1 ⋅ A 1 - ρ ⋅ ν 2 ⋅ A 2

A 2 = ν 3 ⋅ A 3 - ν 1 ⋅ A 1 ν 2

Passo 3

A área A 2 pode ser calculada diretamente a partir da equação que criamos.

A 2 = ν 3 ⋅ A 3 - ν 1 ⋅ A 1 ν 2       ⟹       A 2 = 4 ⋅ 0,03 - 2 ⋅ 0,04 1       ⟹       A 2 = 0,04   m 2

Resposta

A 2 = 0,04   m 2

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