Uma substância escoa nos tubos indicados na figura abaixo. Um tanque com vapor está conectado a esses tubos através de três ramificações, cada uma com uma válvula. Abrem-se as válvulas e o tanque esvazia através das ramificações e ao mesmo tempo em que enche através da ramificação . O vapor sai pela ramificação com uma velocidade média de e passa pela ramificação com velocidade média de . Por outro lado, o vapor entra no tanque pela ramificação com uma velocidade média de . Apesar dessas trocas de massa entre o tanque e as tubulações, a massa de vapor contida dentro do tanque não varia. Sabendo que a área da seção reta da ramificação vale , da ramificação vale , calcule a área da seção transversal da ramificação .
Passo 1
O exercício pede para a gente calcular área da seção transversal da ramificação . Fazemos isso através da fórmula de conservação de massa. Ela mostra que o acúmulo de massa dentro do tanque é igual à quantidade de massa que entra menos a quantidade de passa que sai do tanque .
onde:
- é a taxa de de variação da massa do tanque. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo ;
- é o somatório da quantidade de massa que entra no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo ;
- é o somatório da quantidade de massa que sai no volume de controle por segundo. Sua unidade no S.I. é o quilograma por segundo .
A figura abaixo mostra todas as informações que o enunciado nos dá para a gente conseguir fazer as contas que precisamos. Além disso ele mostra a incógnita do problema .
, e presentes na figura são as velocidades do vapor passando pelas ramificações , e . , e são as áreas das seções transversais das ramificações , e .
Ou seja, conhecemos as velocidades, duas áreas das seções transversais, mas precisamos calcular a área da seção transversal que falta . Para isso, vamos aprender a calcular as vazões mássicas a partir das velocidades e das áreas .
Passo 2
A primeira etapa para calcular através dos dados que nós temos é calcular as vazões volumétricas de vapor que passam por cada ramificação. Todas as vazões volumétricas são iguais à velocidade média do vapor multiplicada pela área da seção transversal da ramificação .
A segunda etapa é converter vazão volumétrica e vazão mássica . Para isso é só multiplicar as vazões volumétricas por !
O somatório das vazões mássicas de saída é a soma de duas vazões mássicas.
O somatório das vazões mássicas de entrada é a vazão mássica da ramificação .
Como o enunciado diz que a massa de vapor no tanque não varia durante o processo de troca de massa, vale zero. Em outras palavras, a taxa de variação da massa de vapor presente no tanque vale zero, porque é constante.
Sabendo disso, podemos criar uma fórmula para a partir de equação de conservação de massa.
Passo 3
A área pode ser calculada diretamente a partir da equação que criamos.