Exercícios Resolvidos de Crescimento, Decrescimento, Máximos e Mínimos

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Enunciado

Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de otimização, em que devemos encontrar a maneira ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa. Um bom jeito de achamos essa maneira é avaliando os pontos de máximo e mínimo da função que descreve nosso problema.

Encontre os máximos e mínimos relativos da função f x = x 3 - 3 x 2 - 24 x + 32 .

Passo 1

E aí, tudo bem?

Aqui a primeira coisa que vamos fazer, é derivar essa nossa função e depois igualar a nossa   f ' ( x ) a zero para determinarmos os pontos críticos dela:

f x = x 3 - 3 x 2 - 24 x + 32

f ' x = ( x 3 - 3 x 2 - 24 x + 32 ) '

Usamos a regra do tombo aqui: x n ' = n ⋅ x n - 1 :

f ' x = 3 ∙ x 2 - 2 ∙ 3 ∙ x - 1 ∙ 24  

f ' x = 3 x 2 - 6 x - 24

Passo 2

Vamos igualar essa nossa f ' ( x ) a zero:

f ' x = 0

3 x 2 - 6 x - 24 = 0

Pra resolver essa equação do segundo grau, vamos utilizar a fórmula de Bháskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Sendo que aqui temos: a = 3 ,   b = - 6   e   c = - 24 :

x = - - 6 ± - 6 2 - 4 ( 3 ) ( - 24 ) 2 ( 3 )

x = 6 ± 324 6

x = 6 ± 18 6

x 1 = 6 + 18 6 = 24 6 = 4

x 2 = 6 - 18 6 = - 12 6 = - 2

Passo 3

Encontramos as coordenadas de x dos nossos pontos críticos.

Agora nos resta descobrir quem é mínimo e quem é máximo. Pra isso, vamos fazer o teste da derivada segunda:

f ' x = 3 x 2 - 6 x - 24

Mais uma vez, vamos usar a regra do tombo:

f ' ' x = 3 ∙ 2 ∙ x 2 - 1 - 6 ∙ 1 ∙ x 1 - 1

f ' ' x = 6 x - 6

Passo 4

O critério do teste da segunda derivada é o seguinte:

Vamos então calcular quanto vale a segunda derivada para os dois pontos críticos que encontramos:

f ' ' 4 = 6 ∙ 4 - 6 = 24 - 6 = 18

Como a segunda derivada é positiva, x = 4 é um ponto de mínimo.

f ' ' - 2 = 6 ∙ - 2 - 6 = - 18

Já para x = - 2 , como a segunda derivada é negativa, temos um ponto de máximo.

Passo 5

Pra finalizar, vamos encontrar os valores correspondentes da função para cada um dos pontos.

f x = x 3 - 3 x 2 - 24 x + 32

Para o ponto de mínimo, substituímos x = 4 :

f 4 = 4 3 - 3 ∙ 4 2 - 24 ∙ 4 + 32

= 64 - 48 - 96 + 32 = - 48

Para o ponto de máximo, substituímos x = - 2 :

f - 2 = - 2 3 - 3 ∙ - 2 2 - 24 ∙ - 2 - 24

= 8 - 12 + 48 - 24 = 20

Resposta

M í n i m o →   4 ,   - 48

M á x i m o →   ( - 2 ,   60 )