Exercícios Resolvidos de Crescimento, Decrescimento, Máximos e Mínimos

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Enunciado

Determine os intervalos onde a função abaixo cresce e decresce:

f x = - x 2 - 6 x + 8

Passo 1

Fala aí!

A questão pede para encontrarmos os intervalos onde a função cresce e decresce, pra isso precisamos calcular sua derivada.

Isso porque a derivada representa a inclinação da reta tangente a função. Quando o gráfico de uma função está descendo a reta tangente a ele estará inclinada negativamente, e quando estiver subindo, sua tangente estará inclinada para cima.

Então, nos intervalos onde a derivada da função for positiva ( y ' > 0 ) , a função está crescendo e quando for negativa ( y ' < 0 ) , está decrescendo.

Passo 2

Para começar, precisamos derivar a função:

f x = - x 2 - 6 x + 8

Vamos usar a regra do peteleco

x n ' = n ∙   x n - 1

E lembrando que derivada de constante é zero, temos:

f ' x = - 2 ∙ x 2 - 1 - 6 ∙ 1 ∙ x 1 - 1

f ' x = - 2 x - 6

Passo 3

Agora, vamos montar a primeira inequação para encontrar o intervalo onde a derivada é positiva, ou seja, maior que zero:

- 2 x - 6 > 0

- 2 x > 6

Para tirarmos o sinal de negativo do x , vamos multiplicar toda a inequação por - 1 , quando fazemos isso invertemos também o sinal de maior para menor:

2 x < - 6

x < - 6 2

x < - 3

Então, quando x é menor que - 3 , a derivada é positiva e a função está crescendo!

Passo 4

Agora fazemos o mesmo processo, mas para encontrar o intervalo onde a derivada é negativa:

- 2 x - 6 < 0

- 2 x < 6

De novo, multiplicamos toda a expressão por - 1 :

2 x > - 6

x > - 6 2

x > - 3

Quando x é maior que - 3 , a derivada é negativa e a função está decrescendo!

Se quisermos conferir se os intervalos que encontramos estão certinhos, podemos conferir o gráfico da função:

Como podemos ver, a função cresce antes de x = - 3 e depois decresce!

Resposta

A função cresce quando x < - 3 e decresce quando x > - 3 .