Exercícios Resolvidos de Crescimento, Decrescimento, Máximos e Mínimos

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Enunciado

Seja a função f x = - 4 x 2 + 16 x . Determine o valor máximo assumido por essa função.

a 8

b 1

c - 4

d 16

e 2

Passo 1

Bom, a questão pede pra encontrarmos o valor máximo assumido pela função, então precisamos encontrar os pontos críticos e checar se são de máximo ou mínimo.

Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa a se fazer para encontrar os pontos críticos de uma função, é calcular sua derivada:

f x = - 4 x 2 + 16 x

Usando a regra do peteleco, temos:

f ' x = - 4 ∙ 2 ∙ x 2 - 1 + 16 ∙ 1 ∙ x 1 - 1

f ' x = - 8 x + 16

Passo 3

Os pontos críticos estarão nos pontos onde a derivada for igual a zero, vamos então igualar a derivada que encontramos a zero e resolver a equação formada:

- 8 x + 16 = 0

- 8 x = - 16

8 x = 16

x = 16 8 = 2

Então, x = 2 é o ponto crítico dessa função!

Passo 4

Agora precisamos conferir se esse é um ponto de máximo ou de mínimo, pra isso, vamos calcular a segunda derivada da função:

f ' x = - 8 x + 16

f ' ' x = - 8

O critério é o seguinte:

Como f ' ' ( x ) da nossa função é sempre negativa, o ponto crítico x = 2 é um ponto de máximo, exatamente como queríamos!

Passo 5

Pra encerrar, a questão pediu o valor máximo assumido pela função, ou seja, queremos saber quanto vale a função no seu ponto máximo.

Vamos então calcular f ( x ) para x = 2 :

f x = - 4 x 2 + 16 x

f 2 = - 4 ∙ 2 2 + 16 ∙ 2

f 2 = - 4 ∙ 4 + 32

f 2 = - 16 + 32 = 16

Então, o valor máximo assumido pela função quando x = 2 é 16 .

Se traçarmos o gráfico da função, conseguimos ver direitinho:

Resposta

L e t r a   ( d )