Exercícios Resolvidos de Crescimento, Decrescimento, Máximos e Mínimos

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Enunciado

Determine os pontos da função f x = x 3 - 12 x + 4 , nos quais as retas tangentes são horizontais.

Passo 1

Antes de tudo, precisamos lembrar que a derivada de uma função é representada pela inclinação da reta tangente ao gráfico daquela função em determinado ponto:

Como o enunciado tá dizendo que a reta tangente é horizontal, ela não terá inclinação e vai ficar tipo assim no gráfico:

Em outras palavras, a derivada será igual a zero. E o que ele está querendo saber é qual é o ponto x , f x que faz isso acontecer. Repara que isso acontece quanto a função tem seus valores máximos e mínimos, também chamado de pontos críticos.

Então pra descobrir esses valores de x , vamos precisar derivar essa nossa função e igualar a zero. Partiuuu!!!

Passo 2

Começamos pela derivada:

f x = x 3 - 12 x + 4

f ' x = x 3 - 12 x + 4 '

Lembra que temos a propriedade em relação a soma, onde podemos calcular a derivada de cada termo

f ' x = x 3 ' - 12 x ' + ( 4 ) '

Pra essa vamos fazer a regra do peteleco e não mexemos na constante, certo?

x 3 ' = 3 x 2

A próxima derivada vai ser no mesmo esquema da anterior, regrinha do peteleco e não mexemos na constante

12 x ' = 12 .   1 x 0 = 12

O último é a derivada de uma constante, que é zero

4 ' = 0

Logo

f ' x = 3 x 2 - 12 + 0

f ' t = 3 t 2 - 12

Passo 3

Igualando a zero, teremos

3 x 2 - 12 = 0

Virou uma equação que podemos resolver isolando o x , jogando o 12 que está subtraindo, para o outro lado.

3 x 2 = 12

Agora é a vez de jogar o 3 que tá multiplicando, para o outro lado dividindo:

x 2 = 12 3

Temos:

x 2 = 4

Agora a pergunta é: Qual o valor que quando elevado ao quadrado dá 4?

Há duas possibilidades:

x 1 = - 2           o u         x 2 = 2

Porque ambos elevados ao quadrado resultam em 4 .  

Passo 4

Agora vamos substituir esses valores na nossa função original

Primeiro para x 1 = - 2

f x = x 3 - 12 x + 4

f - 2 = ( - 2 ) 3 - 12 ( - 2 ) + 4

f - 2 = 20

Ou seja, o primeiro ponto é formado pelas coordenadas x , f x =   ( - 2 ,   20 ) .

Agora vamos fazer para o x 2 = 2

f x = x 3 - 12 x + 4

f 2 = ( 2 ) 3 - 12 ( 2 ) + 4

f 2 = - 12

Ou seja, o segundo ponto é   ( 2 ,   - 12 )

Resposta

- 2 ,   20   e     ( 2 ,   - 12 )