Exercícios Resolvidos de Crescimento, Decrescimento, Máximos e Mínimos

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Enunciado

Seja f x = x 3 - 3 x + 1 . Determine o(s) intervalos onde a função é decrescente

(a) ] - ∞ , 4 ]

(b) Nenhuma das respostas

(c) ] - 1,1 [

(d) ] - ∞ , 4 ]

(e) [ - 1,1 ]

Passo 1

Opa! Tudo joia?

Olha só: uma função é decrescente nos pontos em que a sua derivada é negativa. Veja o exemplo desse gráfico aqui:

Vamos achar a derivada de f x = x 3 - 3 x + 1 então!

A gente vai usar a regra do tombo, beleza?

Essa aqui:

x n ' = n ⋅ x n - 1

Passo 2

Aplicando essa regra na nossa função, fica assim:

f ' x = 3 ⋅ x 3 - 1 - 1 ⋅ 3 x 1 - 1 + 0

f ' x = 3 x 2 - 3 x 0

f ' x = 3 x 2 - 3

(Lembra que derivada de constante é zero e que x 0 = 1 😊)

Passo 3

A gente quer os pontos onde a derivada é negativa, ou seja:

f ' ( x ) < 0

3 x 2 - 3 < 0

Vamos resolver essa inequação, então!

3 x 2 < 3

x 2 < 3 3

x 2 < 1

Pra tirar esse quadrado do x , podemos colocar raiz quadrada dos dois lados da equação:

x 2 < 1

Mas quando fazemos isso, precisamos colocar um módulo no x :

x < 1

Passo 4

Pra finalizar, vamos lembrar que o módulo pode ter dois resultados, positivo ou negativo:

x < 1

- x < 1

Como nessa segunda temos um - x , pra deixá-lo positivo, nós multiplicamos tudo por - 1 , o que no final das contas, vai mudar o sinal de todo mundo, incluindo o sinal de < que vai virar > :

- x < 1       ∙ ( - 1 )

x > - 1

Com isso, temos que:

  • x > - 1 ( x é maior que - 1 )
  • x < 1 ( x é menor que 1 )

Com isso, o intervalo onde a derivada é negativa é x entre - 1 e 1 , que escrevendo em matematiquês fica:

x ∈   ] - 1,1 [

E esse é o intervalo onde a função é decrescente! 😊

Resposta

L e t r a   ( c )