Exercícios Resolvidos de Crescimento, Decrescimento, Máximos e Mínimos

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Enunciado

Determine qual(is) são os pontos críticos da função f x = 2 x 2 - x 3 .

(a) { - 4 3 ,   0 }

(b) { 0   ,   4 / 3 }

(c) { 4 / 3 }

(d) { 0   ,   4 / 3 }

(e) { 0 }

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Olha só, ponto crítico é onde a derivada é zero, beleza?

Isso porque a derivada é a inclinação da reta tangente ao gráfico. Um ponto crítico é um ponto onde a função atinge seu valor máximo ou mínimo, nesses pontos a reta tangente fica completamente na horizontal. Sendo assim, ela não terá nenhuma inclinação, e por isso a derivada será igual a zero.

Vamos começar calculando a derivada então...

Passo 2

Vamos derivar essa função aqui:

f x = 2 x 2 - x 3

A gente tem um polinômio, então vamos derivar usando a regra do Tombo, lembra dela?

x n ' = n ⋅ x n - 1

Vamos aplicar isso na nossa função!

Passo 3

Aplicando a regra do Tombo na função f ( x ) , temos:

f ' x = 2 ⋅ 2 x 2 - 1 - 3 ⋅ x 3 - 1

f ' x = 4 x - 3 x 2

A gente ainda pode colocar o x em evidência:

f ' x = x ( 4 - 3 x )

Passo 4

Agora que já achamos a derivada, vamos ver em que ponto ela é igual a zero, fazendo:

f ' x = 0

x 4 - 3 x = 0

Pra um produto dar zero, um dos fatores tem que ser zero, como aqui temos o x multiplicando o 4 - 3 x , podemos ter essas duas condições:

x = 0

o u

4 - 3 x = 0

Resolvendo essa segunda equação...

Passo 5

4 - 3 x = 0

- 3 x = - 4

x = - 4 - 3

x = 4 3

Beleza! Achamos os dois pontos críticos então, que são:

x = 0   e   x = 4 3

E é só isso por aqui😊

Resposta

(d) { 0   ,   4 / 3 }