Exercícios Resolvidos de Crescimento, Decrescimento, Máximos e Mínimos

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Enunciado

Aplicando os conceitos de derivada, qual o gráfico da função definida em R por f x = x 3 - 3 x ?

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Vamos ver qual é o gráfico dessa função aqui:

f x = x 3 - 3 x

Bom, o exercício falou pra a gente usar os conceitos de derivada. A gente sabe que com a derivada podemos achar os pontos de máximo e mínimo da função, bem como os intervalos de crescimento e decrescimento. Bora lá então?

Passo 2

Bora derivar a função então! A gente vai usar a regra do tombo: x n ' = n ⋅ x n - 1 .

Aplicando em f ( x ) :

f ' x = 3 ⋅ x 3 - 1 - 1 ⋅ 3 x 1 - 1

f ' x = 3 x 2 - 3 x 0

f ' x = 3 x 2 - 3

Passo 3

Bom, os pontos críticos da função, que são nossos candidatos a ponto de máximo e mínimo são os pontos onde a derivada é zero. Vamos ver isso igualando a derivada que acabamos de encontrar a zero, então:

f ' x = 0

3 x 2 - 3 = 0

3 x 2 = 3

x 2 = 3 3

x 2 = 1

x = ± 1

x = ± 1

Beleza! Esses são os pontos críticos da função😊

Passo 4

Vamos checar então se esses pontos críticos são de máximo ou de mínimo!

Pra isso, precisarmos fazer o teste da segunda derivada, que vamos calcular usando a regra do tombo mais uma vez e lembrando que derivada de constante dá zero:

f ' x = 3 x 2 - 3

f ' ' x = 3 ∙ 2 ∙ x 2 - 1

f ' ' x = 6 x

Passo 5

Pelo teste da segunda derivada, temos:

Vamos então calcular quanto vale f ' ' ( x ) pra cada um dos pontos críticos que encontramos:

f ' ' - 1 = 6 ∙ - 1 = - 6

Como f ' ' ( x ) é negativo quando x = - 1 , temos um ponto de máximo.

f ' ' 1 = 6 ∙ 1 = 6

Como f ' ' ( x ) é positivo quando x = 1 , temos um ponto de mínimo.

Passo 6

Agora vamos voltar aos gráficos e procurar qual deles possui um máximo em x = - 1 e um mínimo em x = 1 .

O único gráfico correspondente aos pontos que encontramos é o da alternativa d ) , que é nossa resposta final!

Resposta

L e t r a   ( d )