Exercícios Resolvidos de Crescimento, Decrescimento, Máximos e Mínimos

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Enunciado

Determine os intervalos onde a função abaixo cresce e decresce:

f x = 2 x 3 - 15 x 2 + 36 x - 8

Passo 1

E aí, tudo bom?

Queremos encontrar os intervalos onde a função cresce e decresce e vamos fazer isso usando derivadas!

Pra isso, precisamos lembrar que a derivada representa a inclinação da reta tangente à função. Quando o gráfico de uma função está descendo, a reta tangente a ele estará inclinada pra baixo, e quando estiver subindo, sua tangente estará inclinada para cima.

Então, nos intervalos onde a derivada da função for positiva ( y ' > 0 ) , a função está crescendo e quando for negativa ( y ' < 0 ) , está decrescendo.

Passo 2

Para começar, precisamos derivar a função:

f x = 2 x 3 - 15 x 2 + 36 x - 8

Vamos usar a regra do peteleco

x n ' = n ∙   x n - 1

E lembrando que derivada de constante é zero, temos:

f ' x = 2 ∙ 3 ∙ x 3 - 1 - 15 ∙ 2 ∙ x 2 - 1 + 36 ∙ 1 ∙ x 1 - 1

f ' x = 6 x 2 - 30 x + 36

Passo 3

Precisamos descobrir os intervalos onde essa função é positiva e negativa, como temos uma função do 2º grau, vamos fazer um esboço do gráfico.

Primeiro, vamos descobrir as raízes, ou seja, os pontos onde a função é igual a zero:

6 x 2 - 30 x + 36 = 0

Pra facilitar nossas contas, vamos dividir toda a expressão por 6 :

6 x 2 - 30 x + 36 6 = 0 6

x 2 - 5 x + 6 = 0

Agora, vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

a x 2 + b x + c = 0

Δ = b 2 - 4 a c

x = - b ± Δ 2 a

Identificando os termos da nossa equação:

a = 1               b = - 5               c = 6

Substituindo na primeira fórmula:

Δ = - 5 2 - 4 × 1 × 6 = 25 - 24

Δ = 1

Seguindo pra segunda:

x 1,2 = - ( - 5 ) ± 1 2 × 1 = 5 ± 1 2

Assim sendo, temos:

x 1 = 5 + 1 2 = 6 2 = 3

x 2 = 5 - 1 2 = 4 2 = 2

Então, as raízes da equação são x = 2 e x = 3 .

Passo 4

Para esboçar o gráfico, precisamos saber se a concavidade é pra cima ou pra baixo. Isso é definido pelo coeficiente a da função do 2º grau: quando a > 0 , temos concavidade para cima, e quando a < 0 , temos concavidade para baixo.

Olhando para a derivada:

f ' x = 6 x 2 - 30 x + 36

Temos a = 6 , então a concavidade é para cima.

Passo 5

Finalmente, podemos fazer o esboço do gráfico, traçando uma parábola que passa pelos pontos x = 2 e x = 3 no eixo x e que tenha concavidade para cima.

Olhando pro nosso esboço podemos ver que a derivada só é negativa no intervalo entre 2 e 3 , tanto pra x < 2 , quanto pra x > 3 , a derivada é positiva.

Como a função decresce quando a derivada é negativa, temos a função decrescendo para x entre 2 e 3 .

E como a função cresce quando a derivada é positiva, temos a função crescendo para x < 2 ou para x > 3 .

Intervalos encontrados! Prontinho!

Resposta

A função cresce quando x < 2 ou x > 3 , e decresce quando 2 < x < 3 .