Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 13, Seção 3, Exercício 17
(Capítulo 13.3 – Exercício 17)
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão?
Essa questãozinha aqui nos dá uma função vetorial e pede 2 coisas. No item a, objetivo é determinar dois vetores: o tangente e o normal. E no item b, a partir dos vetores encontrados no primeiro item, calcularemos sua curvatura.
Dando início ao item (a), encontraremos primeiramente o vetor tangente, que possui a seguinte fórmula:
Observe que precisaremos da derivada da função dada no enunciado (numerador) e do módulo dessa derivada (denominador).
Com o vetor tangente, calculamos o vetor normal, com a seguinte fórmula:
E a fórmula 9 do livro, mencionada no enunciado pra calcular a curvatura é:
Passo 2
Então, o primeiro passo é derivar a função , fazendo uso da regra da derivada termo a termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada, precisamos calcular seu módulo .
Tá, mas como calculamos de fato esse módulo? Ele nada mais é, do que a raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos componentes da curva derivada.
Em termos de equação, vamos ter:
Então, substituindo os valores encontrados no passo1, na fórmula acima, temos que:
Isso nos da que:
Aqui podemos fazer uma observação importante! Das relações trigonométricas, sabemos que . Então, podemos substituir na equação acima, obtendo:
Pronto! Já temos o nosso módulo. Vamos continuar?
Passo 4
Substituindo os valores da derivada de e seu módulo, na equação do vetor tangente, temos:
Pronto! Já temos nosso vetor tangente.
Passo 5
Agora vamos calcular o vetor normal. Pra isso, vamos usar a seguinte fórmula:
Vamos então começar derivando , para então calcularmos o módulo dessa derivada:
Para essa derivada, basta derivar termo a termo:
E agora, que temos a derivda, tiramos o módulo.
Tá, mas como fazemos isso? Igual ao passo 2!
Então, vamos ter que:
Passo 6
Substituindo os valores encontrados na fórmula de temos que:
Prontinho! Nosso item (a) está completo.
Passo 7
Agora, partindo para o item (b), a fórmula 9 mencionada no enunciado é a seguinte
Então, substituindo os valores dos módulos da derivada do vetor tangente (numerador), e da derivada da função (denominador), temos:
Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?
Resposta
a) ;
b)