Encontramos a curvatura total da parte de uma curva lisa que vai de s = s 0 ate s = s 1 > s 0 integrando κ de s 0 até s 1 . Se a curva tiver algum outra parâmetro, digamos t , então a curvatura total é:

K = ∫ s 0 s 1 κ d s = ∫ t 0 t 1 κ d s d t   d t = ∫ t 0 t 1 κ v d t

Onde t 0 e t 1 correspondem a s 0 e s 1 . Encontre a curtavura total da parábola

y = x 2 ,   - ∞ < x < + ∞

Passo 1

Para encontrar a curvatura vamos usar a fórmula

κ = ‖ σ ' t × σ ' ' t ‖ σ ' t 3

Vamos então parametrizar nossa parábola:

x t = t

y t = t 2

- ∞ < t < + ∞

→ σ t = ( t , t 2 )

Passo 2

σ ' t = 1,2 t

σ ' ' t = ( 0,2 )

σ ' t = 1 2 + 2 t 2 = 1 + 4 t 2

Passo 3

Agora vamos calcular esse produto vetorial:

i j k 1 2 t 0 0 2 0 = + 2   k = 0,0 , 2

Passo 4

Substituindo na fórmula:

κ = 2 ( 1 + 4 t 2 ) 3

Passo 5

Agora, pra achar a curvatura total, vamos integrar

K = ∫ t 0 t 1 κ v d t

t 0 = - ∞

t 1 = + ∞

κ = 2 ( 1 + 4 t 2 ) 3

v = σ ' t = 1 + 4 t 2

K = ∫ - ∞ + ∞ 2 1 + 4 t 2 3 . 1 + 4 t 2 d t

K = ∫ - ∞ + ∞ 2 1 + 4 t 2 2 d t = ∫ - ∞ + ∞ 2 1 + 4 t 2 d t

K = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 2 1 + 4 t 2 d t + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 2 1 + 4 t 2 d t

K = l i m a → - ∞ t g - 1 2 t 0 a + l i m b → + ∞ t g - 1 2 t b 0

K = l i m a → - ∞ - t g - 1 2 a + l i m b → + ∞ t g - 1 2 b = π 2 + π 2 = π

Resposta

K = π

Exercícios Resolvidos de Curvatura e Raio de Curvatura

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