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Exercícios Resolvidos de Diagrama de Blocos

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Exercício 31245678

Enunciado

Dadas as EDO’s abaixo, encontre as expressões para Y 1 ( s ) e Y 2 ( s ) e representa as variáveis através de um diagrama de blocos.

2 d 2 y 1 t d t 2 + 3 d y 1 t d t + y 1 t = x 1 t + x 2 ( t )

5 d y 2 t d t + y 2 t = 2 x 2 t + y 1 ( t )

Passo 1

Nessa questão nós precisamos fazer duas coisas, primeiro encontrar as funções de Y 1 ( s ) e Y 2 ( s ) e em seguida representar essas funções em um diagrama de blocos.

O primeiro passo quando temos uma EDO e precisamos de uma função de transferência é aplicar Laplace.

Vamos fazer isso primeiro na primeira EDO. Para facilitar, vamos fazer isso termo a termo:

L 2 d 2 y 1 t d t 2 = 2 s 2 Y 1 ( s )

L 3 d y 1 t d t = 3 s Y 1 ( s )

L y 1 ( t ) = Y 1 ( s )

L x 1 ( t ) = X 1 ( s )

L x 2 ( t ) = X 2 ( s )

Caso você ainda tenh dúvidas sobre transformadas de Laplace, seria legal dar uma revisada nesse conteúdo aqui no Responde Aí!

Juntando tudo:

2 s 2 Y 1 s + 3 s Y 1 s + Y 1 s = X 1 s + X 2 ( s )

Colocando Y 1 ( s ) em evidência do lado esquerdo:

2 s 2 + 3 s + 1 Y 1 s = X 1 s + X 2 ( s )

Por fim, isolando Y 1 ( s ) :

Y 1 s = 1 2 s 2 + 3 s + 1 X 1 s + 1 2 s 2 + 3 s + 1 X 2 ( s )

Passo 2

Vamos fazer o mesmo para a segunda EDO agora.

Aplicando Laplace em cada termo:

L 5 d y 2 t d t = 5 s Y 2 ( s )

L y 2 ( t ) = Y 2 ( s )

L 2 x 2 ( t ) = 2 X 2 ( s )

L y 1 ( t ) = Y 1 ( s )

Juntando tudo:

5 s Y 2 s + Y 2 s = 2 X 2 s + Y 1 ( s )

5 s + 1 Y 2 s = 2 X 2 s + Y 1 ( s )

Y 2 s = 2 5 s + 1 X 2 s + 1 5 s + 1 Y 1 ( s )

Passo 3

Agor já temos as expressões de Y 1 ( s ) e Y 2 ( s ) :

Y 1 s = 1 2 s 2 + 3 s + 1 X 1 s + 1 2 s 2 + 3 s + 1 X 2 ( s )

Y 2 s = 2 5 s + 1 X 2 s + 1 5 s + 1 Y 1 s

A partir delas, devemos esboçar o diagrama de blocos do sistemas. Perceba que esse sistema possui duas saídas, Y 1 ( s ) e Y 2 ( s ) e duas entradas, X 1 ( s ) e X 2 ( s ) . Sendo assim, vamos começar representando as duas saídas e as duas entradas:

Vamos ir montando o nosso diagrama por partes então.

Para começar, vamos olhar para a equação de Y 1 ( s ) . Essa variável é a soma da entrada X 1 ( s ) multiplicada por uma função com a variável X 2 ( s ) multiplicada por uma função. Representando isso no diagrama, teremos:

Passo 4

Agora, temos que fazer o mesmo para a variável Y 2 ( s ) .

A variável Y 2 ( s ) também depende de X 2 ( s ) , entretanto, a função que multiplica essa entrada é diferente, o que indica que teremos que adicionar um novo bloco. Além disso, ela também depende da outra saída, Y 1 ( s ) . Sendo assim, o diagrama de blocos ficará:

Obs: pode existir mais de uma maeira de fazer a representação em diagrama de blocos, essa é apenas uma delas.

Resposta

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