Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

Ver Teoria

Enunciado

No MATLAB, esboce o diagrama de Bode para a função de transferência de um sistema em malha aberta mostrada abaixo e determine sua estabilidade em malha fechada.

G s = 4 20 s 3 + 32 s 2 + 13 s   +   1

Passo 1

O exercício pede para plotarmos o diagrama de Bode de G ( s ) e avaliarmos a estabilidade de G ( s ) , a partir do diagrama plotado. Logo, para ver se G ( s ) é estável ou não, usaremos o critério de Bode.

Para fazer nosso programa, executaremos os seguintes passos: devemos primeiro entrar com G ( s ) no MATLAB usando a função t f . Em seguida, usaremos a função b o d e para plotar o diagrama de Bode de G ( s ) . Avaliaremos a estabilidade de G ( s ) usando o gráfico gerado por nosso programa, a partir do critério de Bode.

Passo 2

O primeiro passo para resolver o exercício é entrar com G ( s ) no MATLAB. Para isto, usaremos a função t f , que cria funções de transferência e tem a seguinte sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Para G ( s ) , o polinômio do numerador é 4 . Já o polinômio do denominador é 20 s 3 + 32 s 2 + 13 s   +   1 .

Em um novo script, vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para t f . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a 4 ∙ s 0 = 4 ∙ 1 = 4 , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de n u m e ela é igual a 4 .

A outra variável é um vetor chamado d e n , contendo os coeficientes de 20 s 3 + 32 s 2 + 13 s   +   1 , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Incluímos logo abaixo o comando G   =   t f ( n u m ,   d e n ) , para criar G ( s ) e armazená-la na variável G .

Se quiser conferir se digitou tudo certinho, você pode rodar o programa que tem até agora e pedir ao MATLB para imprimir G no Command Window e compará-lo com o G ( s ) do enunciado:

Se tiver entrado com tudo certinho, G vai sair igualzinho a G ( s ) .

Passo 3

Tendo entrado com G ( s ) no MATLAB, vamos plotar o diagrama de Bode, usando o comando b o d e , que tem a sintaxe:

b o d e ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

Ele tem como entrada uma função de transferência (representada pela variável f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a ), criada usando o comando t f do MATLAB, e ele gera um gráfico com o diagrama de Bode para f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a .

No script criado no passo 2, adicione as seguintes linhas de código:

Além do comando b o d e ( G ) para plotar o diagrama de Bode de G , incluímos o comando g r i d   o n , para que o diagrama tenha linhas de grade. As linhas de grade vão ajudar a avaliar a estabilidade de G pelo critério de Bode, como veremos mais pra frente.

Vamos rodar o programa para vermos o diagrama de Bode de G ( s ) :

O gráfico de cima, de M a g n i t u d e   ( d B ) pela frequência, representa a razão de amplitude e o gráfico de baixo, de P h a s e   ( d e g ) pela frequência, o ângulo de fase.

Passo 4

Usamos o critério de Bode para ver se G é estável ou não no diagrama de Bode. O critério de Bode diz que um sistema é estável se a razão de amplitude for menor que 0   d B na frequência em que o ângulo de fase atinge - 180 ° .

No diagrama de Bode gerado pelo MATLAB, avaliaremos a razão de amplitude no gráfico de M a g n i t u d e   ( d B ) pela frequência e o ângulo de fase no gráfico de P h a s e   ( d e g ) pela frequência.

O primeiro passo, então, é achar a frequência em que o ângulo de fase é - 180 ° . Para isto, clique sobre a curva do gráfico de baixo, cujo eixo vertical é P h a s e   ( d e g ) . Aparecerá um quadradinho preto que informa a frequência e o ângulo de fase do ponto sobre o qual você clicou. Arraste o quadradinho até que P h a s e   ( d e g ) seja igual a - 180 . Use as linhas de grade para se orientar. Ao fazer isso, você terá algo parecido com a imagem abaixo:

Vemos que a frequência em que o ângulo de fase é - 180 ° é de 0,805   r a d / s .

Passo 5

Sabendo que o ângulo de fase atinge - 180 ° em uma frequência de 0,805   r a d / s , vamos procurar no gráfico de cima do diagrama de Bode gerado pelo MATLAB, isto é, no gráfico cujo eixo vertical é M a g n i t u d e   ( d B ) , qual é a razão de amplitude em 0,805   r a d / s .

Para isto, clique sobre a curva do gráfico M a g n i t u d e   ( d B ) , para aparecer aquele quadradinho preto com as informações sobre o ponto onde você clicou. Dessa vez, ele informará a frequência e a razão de amplitude do ponto. Arraste o quadradinho preto até atingir uma frequência de 0,805     r a d / s , usando as linhas de grade para se guiar. Ao fazer isso, seu gráfico de M a g n i t u d e   ( d B ) ficará com essa cara:

Vemos que a razão de amplitude em 0,805   r a d / s é - 13,9   d B , menor que 0   d B . Logo, G ( s ) é estável.

Resposta

Sistema estável