No MATLAB, esboce o diagrama de Bode para a função de transferência de um sistema em malha aberta mostrada abaixo e determine sua estabilidade em malha fechada.

O primeiro passo para resolver o exercício é entrar com no MATLAB. Para isto, usaremos a função , que cria funções de transferência e tem a seguinte sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script, vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Incluímos logo abaixo o comando , para criar e armazená-la na variável .

Se quiser conferir se digitou tudo certinho, você pode rodar o programa que tem até agora e pedir ao MATLB para imprimir no Command Window e compará-lo com o do enunciado:

Se tiver entrado com tudo certinho, vai sair igualzinho a .

Tendo entrado com no MATLAB, vamos plotar o diagrama de Bode, usando o comando , que tem a sintaxe:

Ele tem como entrada uma função de transferência (representada pela variável ), criada usando o comando do MATLAB, e ele gera um gráfico com o diagrama de Bode para .

No script criado no passo 2, adicione as seguintes linhas de código:

Além do comando para plotar o diagrama de Bode de , incluímos o comando , para que o diagrama tenha linhas de grade. As linhas de grade vão ajudar a avaliar a estabilidade de pelo critério de Bode, como veremos mais pra frente.

Vamos rodar o programa para vermos o diagrama de Bode de :

O gráfico de cima, de pela frequência, representa a razão de amplitude e o gráfico de baixo, de pela frequência, o ângulo de fase.

Usamos o critério de Bode para ver se é estável ou não no diagrama de Bode. O critério de Bode diz que um sistema é estável se a razão de amplitude for menor que na frequência em que o ângulo de fase atinge .

No diagrama de Bode gerado pelo MATLAB, avaliaremos a razão de amplitude no gráfico de pela frequência e o ângulo de fase no gráfico de pela frequência.

O primeiro passo, então, é achar a frequência em que o ângulo de fase é . Para isto, clique sobre a curva do gráfico de baixo, cujo eixo vertical é . Aparecerá um quadradinho preto que informa a frequência e o ângulo de fase do ponto sobre o qual você clicou. Arraste o quadradinho até que seja igual a . Use as linhas de grade para se orientar. Ao fazer isso, você terá algo parecido com a imagem abaixo:

Vemos que a frequência em que o ângulo de fase é é de .

Sabendo que o ângulo de fase atinge em uma frequência de , vamos procurar no gráfico de cima do diagrama de Bode gerado pelo MATLAB, isto é, no gráfico cujo eixo vertical é , qual é a razão de amplitude em .

Para isto, clique sobre a curva do gráfico , para aparecer aquele quadradinho preto com as informações sobre o ponto onde você clicou. Dessa vez, ele informará a frequência e a razão de amplitude do ponto. Arraste o quadradinho preto até atingir uma frequência de , usando as linhas de grade para se guiar. Ao fazer isso, seu gráfico de ficará com essa cara:

Vemos que a razão de amplitude em é , menor que . Logo, é estável.