Exercícios Resolvidos de Diagrama de Bode

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Enunciado

Seja

F s = 8 ( s + 1 ) ( s + 3 ) s + 2 s + 4 s + 6 2

Plote o diagrama de Bode e encontre as margens de fase e de ganho de F ( s ) .

Passo 1

O exercício pede para plotarmos o diagrama de Bode de F ( s ) e para encontrarmos a margem de ganho e a margem de fase de F ( s ) . Obteremos a solução do exercício com um único comando do MATLAB: m a r g i n .

No nosso programa, precisamos entrar com F s usando a função t f . Contudo, antes de aplicar t f , precisamos multiplicar os termos do numerador e do denominador de F ( s ) , para obtermos os polinômios cujos coeficientes servirão de entrada para t f .

Tendo entrado com F ( s ) , ela servirá de entrada para a função m a r g i n , que plota o diagrama de Bode já informando as margens de fase e de ganho.

Passo 2

Vamos multiplicar os termos do numerador e do denominador no próprio MATLAB mesmo, começando pelo numerador. Em um novo script, digite as seguintes linhas de código:

Na primeira linha, é definida uma variável simbólica s .

Na segunda linha, criamos uma variável n u m _ F que armazena o numerador de F ( s ) no formato atual.

Na terceira linha, usamos o comando e x p a n d para multiplicar os termos de n u m _ F e gerarmos o polinômio do numerador, que é armazenado em n u m _ p o l .

Execute o programa e imprima no Command Window n u m _ p o l :

Logo, o polinômio do numerador de F ( s ) é 8 s + 1 s + 3 = 8 s 2 + 32 s + 24 .

Faça a mesma coisa para o denominador de F ( s ) , digitando no mesmo script as linhas de código:

Primeiramente, criamos a variável d e n _ F para armazenar o denominador de F ( s ) no formato que ele está no enunciado. Em seguida, usamos e x p a n d nele para gerar o polinômio do denominador, que é armazenado em d e n _ p o l . O polinômio do denominador será:

Logo, s + 2 s + 4 s + 6 2 = s 4 + 18 s 3 + 116 s 2 + 31 s   +   288 .

Passo 3

Tendo os polinômios do numerador e do denominador de F ( s ) , podemos usar a função t f para criar F ( s ) . Lembrando que t f tem a sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Em um novo script ou no mesmo onde você obteve os polinômios, crie dois vetores contendo os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para t f . O primeiro vetor se chamará n u m e terá os coeficientes do numerador de F ( s ) . Já o segundo vetor se chamará d e n e conterá os coeficientes do denominador de F ( s ) .

O polinômio do numerador é 8 s 2 + 32 s + 24 e o do denominador, s 4 + 18 s 3 + 116 s 2 + 31 s   +   288 , logo, n u m e d e n ficarão assim:

Já podemos pôr logo abaixo o comando F = t f ( n u m , d e n ) , para criar a variável F , que contém F ( s ) .

Vamos rodar o programa digitado até agora para conferir se está tudo certo com F ( s ) , imprimindo F no Command Window:

Está tudo certo, já podemos plotar o diagrama de Bode a partir de F .

Passo 4

Plotaremos o diagrama de Bode de F ( s ) com o comando m a r g i n , que além de nos dar diagrama, ainda informa pra gente as margens de ganho e de fase. O comando m a r g i n tem a como sintaxe:

m a r g i n ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

Ele tem como entrada uma função de transferência criada usando o comando t f (representada por f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a ) e ele gera, ao executarmos o programa, um gráfico com o diagrama de Bode de f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a , informando no título do gráfico as margens de ganho e de fase.

Para chegarmos na solução do exercício, adicione ao seu código o comando:

Execute o programa para obter a solução do exercício:

No título do gráfico, a margem de ganho é indicada por G m e a margem de fase, por P m . Temos que ambas as margens são infinitas. Mas por quê?

Note no diagrama de M a g n i t u d e   ( d B ) que a curva de a razão de amplitude está inteira abaixo de 0   d B , isto é, não importa a frequência, a razão de amplitude sempre será menor do que 0   d B . Isso indica que o sistema é sempre estável, isto é, podemos multiplicar o ganho por qualquer valor que o sistema permanecerá estável. Por isso a margem de ganho é infinita.

Uma margem de fase infinita indica que a malha suporta qualquer valor de atraso, pois ela permanecerá estável.

Resposta

Margem de ganho: ∞   d B

Margem de fase: ∞ °