A condição necessária e suficiente para que a equação seja diferencial exata é que, sendo e funções contínuas e deriváveis, se tenha .
Sendo assim, resolva a equação exata
Passo 1
Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva a equação exata:
Vamos começar definindo quem são as funções e da nossa equação.
Vamos verificar se ela é uma equação exata, vendo se temos , como o próprio exercício nos informa...
Passo 2
Vamos derivar a função em relação a , a gente considera constante:
E agora vamos derivar em relação a :
Como encontramos , vemos que a equação é exata!
Passo 3
O nosso próximo passo agora é integrar em relação a :
Para isso, começamos integrando em relação a
Lembrando que essa apareceu porque ao derivarmos parcialmente em relação a todos os termos que dependiam apenas de foram tratados como constante, então na integração, temos que considerar isso.
Passo 4
Agora, devemos derivar esse resultado em função de .
Show!! Esse resultado, a gente deve comparar com a função . Igualando as duas coisas.
Passo 5
Comparando...
Com isso, a gente tem que :
E pra achar o valor de , vamos integrar :
Passo 6
Essa é a última etapa para calcularmos e assim acharmos a nossa solução.
Substituindo o valor de , ficará:
E agora igualamos isso à constante :
Uhuul!! Chegamos na resposta!