Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 1
Essa equação tem muito cara de ser exata, né? Mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.
Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que
Logo,
A função é sempre a que multiplica e a função é sempre a que multiplica .
Vamos ver as derivadas pra conferir se nossa equação realmente é exata.
Como ela é exata e podemos partir pro abraço porque agora é só aplicar o método.
Passo 2
Integrando em relação a
Lembrando que as integrais são em relação a certo? Então o restante sai como constante
Simplificando:
Passo 3
Derive o resultado obtido no passo 2 com relação a
Tiramos as constantes. Detalhe, derivada em relação a Atenção!
Lembrando que a derivada só da constante é zero. Como não tem a variável , fica zero
Passo 4
Compare o resultado obtido no passo 3 com
Integrando acharemos
Passo 5
Obtenha a função inserindo o resultado obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
Como , onde é uma constante.
Show, estamos perto. Agora precisamos descobrir o valor da constante .
Passo 7
Utilizando as informações do PVI que forma dadas no enunciado, , temos.
Substituindo em nossa solução:
Passo 8
Com isso, a solução é dada implicitamente pela equação
Precisamos resolver essa equação para achar , se liga que ela é uma equação de grau onde
Então podemos resolver
Passo 9
Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de quando
Como o valor de neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.