Determine todas as funções que tornam exata a equação diferencial
Considere a função tal que e encontre a solução geral da equação dada em
Passo 1
E aí, tudo joia?
Vamos começar pelo item , a EDO é a seguinte:
Como o problema pediu para que ela seja uma EDO exata. Definimos como:
A ideia para a EDO ser exata é de que:
Vamos verificar isso então...
Passo 2
Derivando em relação a :
Agora derivando em relação a :
Como não sabemos quem é a função , deixamos a derivada representa como mesmo!
Então pra ela ser exata, precisamos que:
Isolando :
Passo 3
Como encontramos , vamos integrar pra achar :
Então todas as funções dessa forma fazem com que a EDO seja exata!
Passo 4
Substituindo a condição na função encontrada ali em cima:
Assim:
Passo 5
Substituindo isso na EDO:
Devemos agora solucionar essa EDO, sabemos que, ela é exata. Pra isso, vamos seguir o passo a passo de resolução de EDO exata:
Vamos integrar em relação a :
Passo 6
Agora vamos derivar essa expressão em relação a :
Comparando essa expressão com :
Concluímos que:
Passo 7
Integrando , encontramos :
Então substituindo , nessa expressão aqui:
Temos:
E pra ficar completa, só falta igualar a uma constante agora e pronto: