Encontre uma solução para a seguinte equação exata:
Passo 1
Vamos começar lembrando do que é uma equação exata. A forma geral dela é essa aqui:
Mas ela tem uma propriedade especial, que diz que:
Como o enunciado já garantiu que a equação é exata, nem precisamos conferir isso. Agora vamos ao que interessa: como a gente faz pra resolver uma EDO exata?
Passo 2
Então vamos lá, primeiro temos que identificar quem são e . Pra isso é só comparar as equações:
Ou seja:
Passo 3
Agora a gente integra em relação a :
Aqui é só aplicar as regras da integração de polinômios, não esqueça de colocar a constante no final:
Por que a constante aparece como uma função de ? Bom, já que a gente integrou só em relação a , a “constante” ainda tem todo o direito de depender de .
Passo 4
Show! Agora a gente deriva essa expressão que achamos no passo anterior, mas agora em relação a :
E vamos comparar esse resultado com !
Passo 5
Temos que:
Daqui tiramos que:
Então ....
Passo 6
Substituindo isso na expressão lá do Passo 3, temos:
E por fim igualamos nossa solução a uma constante:
Prontinho! 😊