Resolva a equação diferencial
Passo 1
Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Como não está tão claro, teremos que manipular um pouco pra ver se ela é uma EDO exata.
Vamos escrever :
Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.
Passo 2
Agora vamos verificar se ela é exata! Pra ser exata, precisamos que:
Sendo que temos: e que .
Derivando em relação a e em relação a , temos:
Como são iguais, concluímos então que a equação é exata.
Passo 3
Agora vamos partir pra resolver a equação!
Vamos começar integrando em relação à
Podemos escrever:
Então:
Passo 4
Agora a gente deriva o resultado obtido no passo 3 com relação a , considerando como constante:
Passo 5
Compare o obtido no passo 4 com :
Daí vemos que: :
E com isso:
Passo 6
Obtenha a função inserindo o resultado obtido no passo 5 dentro da função do passo 3:
Passo 7
A solução é dada implicitamente por , então vamos igualar o que achamos com :
A solução então é:
Prontinho! 😊