Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Bom. A primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem!
Multiplicando cruzado e passando tudo pro mesmo lado:
Opa, ficou com aquela cara bacana para ver se é uma EDO exata! A gente pode chamar os pedacinhos assim:
Então:
Passo 2
Vamos verificar se é exata!
Para ser exata, precisamos que:
Derivando em relação a , temos:
E derivando em relação a temos:
As duas derivadas parciais são iguais, então essa é uma EDO Exata!!
Passo 3
Sabendo que a EDO é exata, agora precisamos resolvê-la. E para isso vamos para o próximo passo que é integrar com relação a :
Lembra que aqui a gente considera constante:
Não esquece de somar essa função , tá bom? Ela será nossa constante de integração.
Passo 4
Continuando...
Feito isso, agora derivamos o resultado obtido no passo 2, mas agora em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Agora vamos comparar o resultado obtido no passo 3 com , igualando as duas:
E aí encontramos:
Integrando com relação a :
Passo 6
Agora a gente pega esse resultado de e encaixa lá naquela expressão do passo 2 fazendo:
Passo 7
A solução é dada implicitamente por , então vamos igualar nossa expressão a e prontinho!