Verifique se a equação é exata e resolva-a
Passo 1
E aí, tudo bem?
Bem, ele disse que é para ver se essa equação é exata, então vamos fazer isso, e depois vamor resolver essa EDO.
A cara da equação exata é
Então temos
E
Uma EDO é exata se:
Vamos ver isso então...
Passo 2
Derivando em relação a , consideramos constante:
Usando a regra do Tombo temos:
E derivando em relação a , consideramos constante:
Usando a regra do tombo:
E acabamos de ver que esses caras são iguais, então verificamos que essa EDO é exata.
Passo 3
Agora é hora de resolvê-la!
A primeira coisa que fazemos é integrar em relação a ...
Passo 4
Ok, esse será nossa solução, mas temos uma expressão que a gente não conhece. Para encontrá-la, vamos derivar o que achamos em relação a , considerando constante:
Passo 5
Comparamos essa expressão com para encontrar a expressão da derivada:
Assim, temos:
Passo 6
Portanto, para encontrar a expressão de , integramos:
Passo 7
A solução da nossa equação exata vai ser dada de forma implícita por
Substituindo a expressão que encontramos para :
Prontinho! Essa é a solução da equação😊