Considere as variáveis e relacionadas pela forma diferencial:
Encontre o valor de para que o qual a equação acima seja exata.
Passo 1
E aí, tudo joia?
Bem, sabemos que uma equação diferencial somente é exata se:
Onde e são os termos da equação diferencial que acompanham e respectivamente.
Aqui então:
Temos:
Basta calcular as derivadas então e ser feliz com a igualdade obtendo o , não concorda?
Passo 2
Primeiro, calculemos aqui a derivada de em relação a :
Como é uma derivação em relação à , o primeiro termo é o único que sobra, já que o segundo é apenas considerado constante na integração com relação a :
Aplicando a regra do produto:
Ora, a derivada de com relação à é...
Para calcular essa segunda derivada, cuidado com a regra da cadeia:
Logo... Colocando-se em evidência o termo da exponencial...
Passo 3
Agora, calculemos nesse outro passo a derivada do nosso ...
Como é uma constante, ele pode sair da derivada:
Aplicando-se então a regra do produto...
E a regra da cadeia...
Passo 4
Como vimos no passo , essas duas derivadas que obtivemos devem ser iguais:
Então vamos igualar nossos resultados:
Cortando os termos iguais dos dois lados, sobra:
Então para que a equação seja exata, devemos ter 😊