Determine a solução geral da equação diferencial:
Com as seguintes condições iniciais
e .
Passo 1
Aqui temos uma EDO de segunda ordem não homogênea para ser resolvida. Sendo assim, nossa solução deve ser a forma:
Onde é a solução homogênea, e é a solução particular.
Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa à equação homogênea. Como temos:
Vamos encontrar:
Passo 2
Para encontrar as raízes de
Vamos aplicar a fórmula de Bháskara:
E sendo que no nosso caso temos: , vamos ter:
Beleza, encontramos esses valores para ! Assim, como temos suas raízes reais, nossa solução homogênea é da forma:
Passo 3
Vamos ver a solução particular agora! Nossa EDO é:
Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito), é uma exponencial com . Então, vamos considerar que nossa solução tem essa forma aqui:
Passo 4
Agora temos que comparar e . Veja que está na solução homogênea. Ele é exatamente esse termo: (porque são constantes).
Então o que fazemos? Multiplicamos a particular por até que ela fique diferente
Beleza, ficou diferente. Agora podemos seguir no passo a passo.
Vamos achar as derivadas, aqui a gente vai ter que usar a regra do produto:
Sendo que aqui: e :
Derivando de novo:
Passo 5
Agora vamos substituir a solução particular e suas derivadas na EDO. Teremos, então:
Como do lado de lá só temos , pegamos o termo que tem só do lado de cá e igualamos:
Devemos ter
Agora que descobrimos que é a constante , nós substituímos isso na solução particular. Assim a solução particular será:
Passo 6
E como a solução geral é:
Teremos:
Passo 7
Agora é substituir as condições iniciais nas equações que temos para resolver o PVI e encontrar o valor das constantes e .
Colocando em , temos:
Como :
Passo 8
Agora, vejamos o . Para isso, precisamos derivar , o que nos dá:
Colocando , teremos:
Passo 9
Agora, juntamos as duas equações e resolvemos o sistema:
Fazendo a de baixo menos a de cima, temos:
Substituindo esse valor para na primeira equação, temos:
Colocando esses dois valores na equação de , teremos: