Resolva a EDO de segunda ordem:
Passo 1
Oiii! Vamos continuar com nossas EDOs!
A equação é não homogênea, então a solução geral é
onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos começar achando a solução homogênea ! A equação homogênea é a mesma, mas com do lado direito:
A equação auxiliar é:
Resolvendo
Temos
Então a solução homogênea da equação é:
Passo 2
Show, achamos a homogênea, agora vamos achar a solução particular! Lembrando que a equação é:
Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.
Temos uma função exponencial multiplicando uma trigonométrica, então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!
Passo 3
Como a função não é solução da equação homogênea, podemos tentar aquela solução do passo anterior mesmo.
Toma cuidado para não confundir, na solução homogênea temos , na particular temos !
Passo 4
Show! Vamos achar a primeira derivada da função, usando as regra do produto e regra da cadeia:
Dando uma ajeitadinha nisso, temos:
Juntando os termos que acompanham e , temos:
Passo 5
Agora é arregaçar as mangas e calcular essa derivada segunda, pelos métodos de derivação!
Ajeitando isso daí, ficamos com
Podemos deixar menos feio, fazendo as distributivas
Juntando os termos que acompanham e , temos:
Finalmente, ficamos com:
Ufa! Demorou, mas foi!
Passo 6
Agora vamos substituir , e na EDO:
O que dá esse troço bizarro aí:
A primeira coisa que podemos fazer é cortar dos 2 lados:
Melhorou um pouco né? Agora vamos juntar todos os senos e cossenos:
Eeee laiá, coisa feia que dói!
Passo 7
Repare que do lado direito temos
Ou seja, quando igualarmos os termos que acompanham seno e o cosseno, vamos cair num sistema:
Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e somá-la com a segunda:
E pela segunda equação, temos
Passo 8
Então, solução particular é:
Lembrando que achamos a solução homogênea
Logo, a solução geral da equação vai ser