Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não é necessário determinar os coeficientes.
Passo 1
E aí, tudo joia?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a soma da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:
E a equação característica associada é:
As raízes são complexas do tipo , e a solução é para esse caso é do tipo:
Beleza? Aqui temos e . Vamos substituir os valores encontrados?
Show! Essa é a solução homogênea! Agora vamos encontrar a solução particular.
Passo 3
Nesse caso temos duas soluções particulares, pois do lado direito da EDO há dois termos, o e o .
Vamos começar com a primeira.
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.
A função é , uma exponencial, e não faz parte da solução da equação homogênea, então uma possível solução vai ser:
Passo 4
A segunda solução particular vai ser dada a partir da função é . então nossa tentativa seria da forma:
Mas essa solução faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim devemos multiplicar por . Assim uma possível solução tentativa será:
Perceba que a possível solução é a multiplicação entre um polinômio e a parte trigonométrica, visto que buscamos a solução para
Passo 5
E a solução tentativa vai ser a soma das duas:
Veja que o problema não pediu pra resolver, só para escrever a solução tentativa, que é essa aí😊
Então essa é nossa resposta.