Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
E aí, como vai?
Olha só, a solução geral vai ser da forma:
Onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos começar encontrando a solução homogênea:
Vamos ver a equação característica:
Como as raízes são reais, a solução homogênea será:
Passo 2
Agora vamos encontrar a solução particular pelo método dos coeficientes a determinar:
Agora é uma soma de diferentes funções:
- Função exponencial:
- Função trigonométrica:
- Função polinomial:
Então será também uma soma desses tipos de funções:
Passo 3
Antes de qualquer coisa a gente precisa verificar se a solução particular não é solução geral da equação homogênea:
Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Embora na homogênea tenha uma exponencial, são exponenciais diferentes. Uma é elevada a 2 e a outra a .
Então não precisamos modificar, pode seguir naquele formato ali mesmo!
Passo 4
Agora vamos encontrar derivadas de , lembra da regra do Produto e regra da Cadeia:
Por exemplo:
Fazendo o mesmo para a segunda derivada, temos:
Passo 5
Substituindo na equação e encontrando as constantes:
Poderíamos substituir diretamente as derivadas e comparar os dois lados para encontrar as constantes:
Mas acho que fica mais claro e organizado se separarmos por cada tipo de função:
- Exponencial
- Trigonométrica
- Polinomial
E agora substituindo apenas a parte exponencial:
Passo 6
E agora substituindo apenas a parte trigonométrica:
Resolvendo o sistema:
Passo 7
E agora substituindo apenas a parte polinomial:
Resolvendo o sistema:
Passo 6
Ótimo! Encontramos todas as constantes:
Vamos jogar isso lá na agora!
Passo 7
Substituindo constantes encontradas em :
Substituindo as constantes:
Passo 8
Como sabemos que a solução geral é dada por:
Substituindo o que achamos, temos:
Prontinho!