Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.
Passo 1
Olá, tudo bem?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. Quando isso acontece, a solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Vamos começar encontrando a solução da equação homogênea. Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:
E a equação característica associada é:
Colocando em evidência.
As raízes serão:
Temos duas raízes reais e diferentes, com isso a solução fica:
Agora vamos encontrar a solução particular.
Passo 3
Olhando para a nossa EDO
Vemos que do lado direito há dois termos. Nesse caso temos duas soluções particulares.
Vamos começar com a primeira.
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.
A função é , uma constante, e faz parte da solução da equação homogênea, então vamos multiplicá-la por , até que ela se torne diferente do que temos na solução homogênea. Com isso, uma possível solução vai ser uma constante vezes :
Passo 4
A segunda solução particular vai ser dada a partir da função é e não faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim uma possível solução vai ser uma função de primeiro grau multiplicando uma exponencial:
Passo 5
E a solução tentativa vai ser a soma das duas:
Por enquanto é isso pessoal, essa é a solução tentativa😊
Vamos pra próxima?