Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Fala aí, tudo joia?
Vamos seguir um passo a passo aqui que vai ajudar bastante na resolução da nossa questão. Nosso objetivo é encontrar a solução desta EDO, e esta solução será do tipo:
Primeiro, encontremos a solução da equação auxiliar, relativa à equação homogênea. Como a nossa equação é:
Pra achar a solução homogênea, temos que fazer:
Passo 2
Vamos resolver essa equação fatorando essa diferença de quadrados:
Como temos uma multiplicação igual a zero, vamos ter duas raízes
Como essas duas raízes são reais, a solução homogênea é da forma:
A solução homogênea nesse caso então é:
Passo 3
Vamos partir agora para a solução particular , ok? Se você observar, a parte não homogênea da equação (lado direito). O que temos lá? Uma expressão trigonométrica, então nós desconfiamos que a solução vai ser dessa forma aqui:
Encontrando a primeira e a segunda derivada dessa solução particular, temos:
Passo 4
Agora temos que comparar a solução particular com a solução homogênea. Bem, a homogênea envolve exponenciais, e a particular trigonométricas. Portanto, não tem nada da particular na homogênea e podemos ficar com o seguinte palpite:
Passo 5
Agora temos que substituir essas derivadas na equação. Teremos, então:
No lugar de a gente vai colocar e no lugar de a gente vai colocar :
Passo 6
Igualando o coeficiente que está multiplicando a função cosseno do lado esquerdo e do lado direito temos:
Como não há a função seno do lado direito da equação:
Então substituindo o valor das constantes em nossa solução particular, teremos:
Passo 7
Assim, a solução geral é:
Porém encontramos:
Então fica:
E prontinho! EDO resolvida😊