Sabendo-se que formam um conjunto fundamental de soluções para em , encontre a solução geral para:
Passo 1
Vamos relembrar o passo a passo do método da variação dos parâmetros:
- Arruma a EDO para ficar com a cara:
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
- Identificar e
- Encontrar a cara da solução particular
- Calcular e
- Calcular
- Calcule
- Encontrar solução geral:
- Substituir condições iniciais caso exista
Não fica preocupado que a gente vai passar por todos esses passos na nossa questão!
Passo 2
Vamos começar com o primeiro!
Colocando a equação na forma: )
Dividindo tudo por , temos:
Passo 3
Vamos resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: ,caso o problema não forneça a solução da homogênea.
O problema já fornece a solução da homogênea. Temos então, identificando e , temos:
Passo 4
Agora vamos encontrar a cara da solução particular
A solução particular será:
Passo 5
Seguindo nosso passo a passo, vamos calcular e
Passo 6
Bora calcular Calcular
Como já temos esses termos, ficamos com
Passo 7
Agora vamos cair pra cima de
Temos:
Como resolver essa integral? Vamos usar a substituição simples:
Substituindo na integral temos:
Cortando os , temos:
Voltando , ficamos com
Agora para , vamos ter
Vamos fazer uma substituição simples:
Substituindo:
Passo 8
Logo, para nosso então temos:
Passo 9
Encontrar a solução geral:
Sabemos que :
Logo:
Então: