Resolva a EDO
Passo 1
E aí, pronto pra ver mais essa EDO?
Esta é uma EDO de segunda ordem não homogênea, certo?
Sendo assim, a solução geral é dada por:
A solução homogênea, nossa é dada por!
Vamos pro polinômio característico, resolver a parte homogênea primeiro!
Passo 2
O polinômio característico é:
Como temos raízes complexas, nossa solução homogênea é da forma:
Sendo a raiz .
Assim a solução da homogênea ficará:
Passo 3
Agora temos que resolver a não homogênea, e pra isso vamos usar o método dos coeficientes a determinar!
Nossa EDO é:
Do lado direito temos uma parte polinomial e outra parte trigonométrica.
Analisando a parte polinomial, vemos que um bom chute seria:
E da parte trigonométrica, um bom chute seria:
Como temos um produto entre essas partes, nossa solução é um produto também!
Assim a solução particular é dada por:
Passo 4
Mas cuidado! Abre essa multiplicação rapidão. Você vai ver que quando você multiplica o por , vai ficar uma constante vezes , ou seja, ficou com a mesma cara que a solução homogênea.
A mesma coisa acontece pro , por causa disso, precisamos multiplicar tudo por , pra ficar diferente!
Agora sim! Vamos achar o valor dessas constantes, para isso vamos multiplicar usando a distributiva ali:
Percebe que eu juntei as constantes: por exemplo, chamei de de novo, isso não muda nada, porque vamos determinar essas constantes agora, e essas são constantes arbitrárias.
Passo 5
Vamos derivar agora, pra isso precisaremos usar a regra do Produto, tá bem? Ela é assim, só pra relembrar:
Então, por exemplo:
Vamos fazer isso em todos os termos!
Passo 6
A gente precisa derivar de novo agora! Do mesmo jeito, sem esquecer a regra do produto!
Fica essa lindeza aqui! Faz com bastante calma que tudo dará certo rsrs.
Passo 7
Substituindo na EDO, no lugar de e :
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora a gente vai igualar os termos correspondentes de cada lado:
Vamos lá, da quarta equação nós temos que:
Da segunda, nós temos que: , então:
Da terceira:
E já vimos na primeira que .
Passo 9
Uffa!! Ficou assim:
Então essa é a nossa solução particular!
Passo 10
Então a solução geral é:
Ufaaa! Até que enfim conseguimos hein!