Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Opa! Vamos ver mais essa?
O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.
A solução geral é dada por:
Onde é a solução homogênea, e é a solução particular.
Vamos começar pela homogênea, beleza?
Passo 2
A parte homogênea associada é essa aqui:
Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, passa a ser , passa a ser e é o termo independente.
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara:
Sendo que , e .
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
e
Passo 3
Como temos duas soluções reais, a solução da EDO homogênea será:
Beleza, vamos continuar para a particular!
Passo 4
Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:
Já que do outro lado temos , que é de 1º grau.
Derivando , temos:
Vamos substituir isso na EDO agora!
Passo 5
Pegando a EDO lá do início:
Substituindo:
Igualando os termos correspondentes:
Logo,
Portanto, a solução particular da EDO será
Passo 6
A solução da EDO então será:
Passo 7
Agora partiremos pra encontrar as constantes e . Pra isso vamos aplicar as condições iniciais:
Utilizando a primeira:
Derivando a solução geral, temos:
E então podemos aplicar a segunda condição:
Passo 8
Temos então o seguinte sistema de equações:
Da primeira temos:
Substituindo na segunda:
E daí, temos:
Passo 9
Agora que achamos os valores das constantes, vamos substituir na solução geral que achamos:
E pronto! Essa é a solução do PVI pedido😉