Resolva a equação diferencial:
Passo 1
E aí, pronto pra mais uma?
Queremos encontrar a solução geral, lembrando que:
Sendo que é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos fazer a solução homogênea primeiro, depois a gente ver a particular, show de bola?
Passo 2
Bom, para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Que aqui é essa:
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara .
Sendo que , e .
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Como temos duas raízes reais, a solução da EDO homogênea será:
Beleza, a parte homogênea já foi, vamos para a solução particular agora!
Passo 4
Olhando para nossa EDO:
Vemos que do lado direito temos um polinômio de 2º grau, logo, nada mais justo que chutarmos uma solução que seja um polinômio de 2º grau também. Assim:
Como essa solução não está presente na parte homogênea, podemos usar essa mesmo! Onde são os coeficientes que a gente vai determinar😉
Passo 5
Vamos derivar nossa :
E agora a gente vai substituir na EDO...
Substituindo:
Passo 6
Igualando os termos correspondentes:
Passo 7
A solução particular então é:
E a solução geral, que é a soma da homogênea com a particular:
E pronto! Agora terminamos😊