Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
E aí, tudo bem?
Esse problema foi bem direto, precisamos encontrar a solução geral da EDO. E pra começar, vamos lembrar que a solução geral EDO desse tipo é dada por:
Onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos primeiro fazer a homogênea, beleza?
Passo 2
Pra achar a solução homogênea, vamos resolver a EDO homogênea associada, fazendo:
Observando seu formato, podemos escrever assim:
Vamos usar Bhaskara para resolver essa parte aqui!
Passo 3
A fórmula é assim:
No nosso caso, temos .
Já que temos 2 raízes reais, nossa solução homogênea vai ter essa forma aqui:
A nossa então é:
Passo 4
Vamos agora achar nossa solução particular. Veja que do lado direito da igualdade, temos:
Ou seja, um polinômio de 2º grau. Nada mais justo então que a nossa solução particular ser um polinômio de 2º grau também, não acha?
Vamos chutar um:
Como essa solução não está presente na solução homogênea, podemos utilizar essa mesmo, basta acharmos os coeficientes .
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de :
Show! Agora, substituímos isso na nossa EDO!
Passo 6
A EDO é:
Substituindo...
Desenvolvendo...
Reagrupando, ficamos com:
Igualando os termos correspondentes de cada lado, temos:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema...
Da segunda, tiramos que:
Substituindo na primeira:
E substituindo na terceira, encontramos :
Passo 8
Substituindo esses valores na nossa solução particular, achamos:
E como a solução geral é:
Juntando as duas, encontramos:
E acabamos por aqui😊