Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Opa, tudo joia?
A gente quer achar a solução geral da EDO, lembrando que a solução geral de uma EDO desse tipo é dada por:
Onde é a solução homogênea, e é a solução particular.
Vamos encontrar primeiro a solução homogênea, beleza?
Passo 2
A EDO homogênea aqui é: 2 .
Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Então, passa a ser , passa a ser e é o termo independente.
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara .
Sendo que , e .
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
e
Passo 3
Como temos duas raízes reais, a solução da EDO homogênea será:
Ótimo! Vamos ver a particular agora!
Passo 4
Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:
Já que do outro lado temos , que é um polinômio de 2º grau.
Derivando
Substituiremos na EDO original do nosso problema, para assim, determinar as constantes A, B e C.
Passo 5
Resgatando nossa EDO:
Substituindo...
Fazendo as multiplicações e organizando tudo:
Para manter a igualdade,
Com isso, resolvendo o sistema
Logo,
Passo 6
A solução da nossa EDO então será:
Prontinho! 😉