Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
E aí, bora ver mais esse probleminha?
Vamos encontrar a solução geral, lembrando que:
Sendo que é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos focar na solução homogênea primeiro, ok?
Bora lá!
Passo 2
Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, passa a ser e é o termo independente.
Assim:
Se torna:
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara .
Sendo que , e .
Perceba que o ficou negativo, mas nesse caso não tem problema. Vamos substituir na fórmula de Bhaskara.
Agora, para tirar a raiz de , usaremos o número imaginário para a raiz de :
Ficando com:
Passo 3
Como temos raízes complexas, a solução da EDO homogênea será:
Onde e . Então a nossa será:
Passo 4
O próximo passo é achar a solução particular, e pra isso vamos supor uma solução do tipo:
Substituiremos na EDO do nosso problema. Com isso a gente vai determinar as constantes A e B.
Primeiro vamos derivar :
Passo 5
Vamos pegar nossa EDO:
E vamos fazer:
Substituindo as derivadas que acabamos de calcular.
Repare que de um lado temos termos que estão sozinhos (sem o ), termos que acompanha o e termos que acompanha o . Mas do lado direito só temos o termo com .
Para manter a igualdade, só podemos ter:
Resolvendo as equações que encontramos, ficaremos com:
Então,
E essa será nossa solução particular.
Passo 6
Juntando as duas soluções que encontramos, a solução da EDO será
Passo 7
Só o que falta pra ficar show, é descobrirmos quem são as constantes e . Então, vamos aplicar a condição inicial agora:
Usando a primeira:
Então...
Passo 8
E pra usar a segunda condição temos que derivar a solução geral:
Então:
Nossa solução geral do PVI então é: