Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Olá, tudo bem?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Bora ver isso então?
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:
Que podemos escrever como:
Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:
Onde aqui temos: :
Aqui temos duas raízes reais e diferentes, então a solução vai ser:
Passo 3
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de segundo grau:
Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?
As derivadas vão ser:
Passo 4
Resgatando a equação diferencial temos:
Agora substituindo e na equação diferencial temos:
Reorganizando os termos temos:
Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:
Passo 5
Da primeira equação tiramos o valor de :
Da segunda equação, temos o valor de :
Mas :
E por fim, substituindo os valores de e na terceira equação temos o valor de :
Pronto, determinamos os coeficientes e e a solução particular é:
Passo 6
Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e do passo temos . Vai lá no passo e pega a solução geral:
Substituindo os resultados teremos:
Se fosse um problema de valor inicial, agora seria a hora de aplicar as condições iniciais! Mas aqui não é o caso! Paramos por aqui 😊