Resolva a equação diferencial
com condições iniciais e .
Passo 1
Opa! Assutou com essas chaves ali? Fica tranquilo, vem comigo!
A solução geral será dada por :
Onde é a soluçõa homogênea e é a solução particular.
Primeiro, vamos encontrar a equação característica para a parte homogênea da função:
Pra resolver isso a gente usa a boa e velha fórmula de Bhaskara:
Sendo que aqui, :
Passo 2
Temos duas raízes complexas, e a solução homogênea, nesse caso é da forma:
Onde (parte real) e (parte imaginária), no nosso caso. Então:
Essa é a solução homogênea, que é a solução para o intervalo 😊
Passo 3
Vamos encontrar a soluçã particular agora.
Vamos focar nessa aqui então, no intervalo :
Vamos chutar uma solução assim:
Isso porque do lado direito temos apenas um termo independente.
Aí temos:
Colocando essas expressões na EDO, obtemos:
A solução particular então é:
Passo 4
E como a solução geral é dada por :
Juntando as duas, temos:
Passo 5
Agora nos falta encontrar o valor das contantes e . Aplicando as condições iniciais dadas:
Determinando a primeira derivada da solução geral:
Aplicando a condição dada:
Substituindo :
E assim, achamos as constantes.
Então... a solução geral no intervalo será:
Resposta
Para :
Para :