Resolva a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Olá, tudo bem?
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:
Pra isso a gente começa resolvendo essa equação associada aqui:
Para isso vamos usar a fórmula de Bháskara:
No nosso caso temos:
Aqui temos duas raízes reais e iguais, então a solução vai ser:
Agora vamos determinar a solução particular?
Passo 3
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados.
A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de primeiro grau:
Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?
As derivadas vão ser:
Resgatando a equação diferencial temos:
Passo 4
Agora substituindo e na equação diferencial temos:
Reorganizando os termos temos:
Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:
Da primeira equação temos o valor de
E da segunda o valor de :
E a solução particular é:
Passo 5
Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e do passo temos . Vamos lá ao passo pegar a solução geral:
Substituindo os resultados teremos:
E prontinho! 😊