Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Opa! Vamos ver mais essa?
O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.
A solução geral é dada por:
Onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea (). Lembrando que a EDO homogênea é .
Passo 2
Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Essa aqui:
Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o e utilizaremos a fórmula de Bhaskara .
Sendo que , e .
Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.
Substituindo na fórmula de Bhaskara.
e
Passo 3
Como temos duas raízes reais, a solução da EDO homogênea será:
Beleza, vamos continuar...
Passo 4
Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:
Já que temos um polinômio ali do outro lado.
Que satisfaz a equação
Vamos calcular a primeira e segunda derivadas de então:
Substituindo tudo isso na nossa EDO:
Passo 5
Para manter a igualdade,
Logo,
Portanto, a solução particular da EDO será
Passo 6
Com essas soluções em mãos, a solução da EDO será:
Passo 7
Pra ficar show, só precisamos encontrar o valor das constantes e .
Aplicando a condição inicial agora:
E a outra condição:
Derivando a solução geral que encontramos:
Temos então o seguinte sistema de equações,
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações, da primeira temos:
Substituindo na segunda:
E daí temos:
Ou seja:
Agora que temos também as constante, valos colocar tudo na solução da nossa EDO.
É a solução da EDO😊