Ache a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
A primeira coisa que vamos fazer aqui é tentar reescrever essa equação no formato característico de equação separável, ou seja, separando o do beleza?
Então vamos ter:
Colocando em evidência:
Maravilha, veja que temos uma multiplicação de uma função só em e outro só em . Então conseguimos escrevê-la como uma EDO separável.
Agora, jogando tudo que tem para a direita e tudo o que tem para esquerda, ficamos com:
Lembrando que para o denominador da fração não ser igual a zero.
Passo 2
Feito isso podemos começar a nossa receita de bolo de separável integrando os dois lados. Vamos começar integrando o lado direito:
Aqui nós temos podemos fazer uma substituição onde,
Então ficamos com:
Voltando agora com nossa expressão original de
Passo 3
Integrando agora a parte direita da EDO, ou seja, a parcela que tem , temos:
Ou seja,
Agora que já temos nossas integrais, podemos retornar a nossa igualdade.
Passo 4
Igualando as duas integrais temos:
Repara que podemos diminuir um pouco essa expressão juntando essas duas constantes de integração, fazendo ela virar uma única, ou seja,
Assim já está correto mas pode acontecer do professor pedir para você dar a resposta em formato exponencial, nesse caso vamos seguir para o próximo passo.
Passo 5
Se quisermos deixar de uma forma explícita, vamos jogar a exponencial dos dois lados. Ou seja, o vai sumir e tudo o que estava do lado direito da equação vai ser o expoente do :