1. Mostre que a equação

É separável

2. Resolva a mesma

Agora que sabemos que a equação é separável, a letra (b) nos pede para resolver. E para isso temos que multiplicar cruzado deixando tudo com de um lado e tudo com do outro.

Agora vamos integrar dos dois lados,

A integral do lado direito é a famosa:

Dessa forma,

Mas e a integral do lado esquerdo?

Temos que fazer a integral do lado esquerdo separada, porque ela é um pouco mais complicada.

Vamos começar dando uma arrumada nisso,

Como temos uma fração no denominador, vamos repetir a parte de cima e multiplicar pelo inverso da fração que está embaixo. E vai ficar assim:

Agora que já ficou um pouco melhor, vamos resolver fazendo substituição:

Colocando isso na integral,

Resolvendo a integral vamos ter,

E agora voltando para ,

Voltando para nossa integral vamos ter,

Juntando as constantes de integração do mesmo lado teremos:

E como são constantes podemos escrever assim:

Vamos também passa esse para o outro lado da equação, ficando com:

Agora temos que isolar o , e pra isso vamos usar uma propriedade de logaritmo que fala,

Então esse que está na frente do vai subir lá por expoente de :

Como é sempre positivo, podemos tiras as barrinhas do módulo

E para deixar o sozinho, precisaremos aplicar a exponencial dos dois lados da igualdade. Fazemos isso sempre que quisermos tirar alguma coisa de dentro de um logaritmo.

Assim vamos poder cortar o com o e vai sobrar só a parte de dentro do

Ainda podemos separar o expoente da expressão que está do dado direito, fazendo:

Isso vai deixar a gente cortar o com o deste lado também

Podemos deixar assim que a resposta já está certa, maaaas é comum darmos uma embelezada maior nela.

Para deixar a resposta mais bonita podemos fazer sendo , porque ele é todo uma constante. Então,

Então temos,

Podemos fazer ainda

E com isso vamos ter,

Agora acabou! 😉