Resolva a equação diferencial dada por separação de variável descrita abaixo:
Passo 1
Vamos começar escrevendo essa equação naquele formato característico de EDO separável.
Pra isso podemos jogar tudo o que é para a esquerda e tudo o que é para a direita temos:
Agora que já está naquele formato que a gente gosta é só começar a botar a mão na massa e integrar de ambos os lados.
Passo 2
Vamos integrar cada lado da equação separado começando pelo lado esquerdo. Dessa forma:
Vamos utilizar o método de integração por partes para resolver essa brincadeira. Lembrando o método:
Aqui vamos usar,
Onde,
E,
Então teremos:
Dessa vez vamos deixar para colocar a constante de integração no final, beleza?
Passo 3
Integrando o outro lado da equação:
Aqui nós vamos precisar abrir o produto notável, lembrando que:
Mas nesse caso o nosso vai ser representado pelo e o por 1. Então,
Vamos separar as parcelas e simplificar pra ficar mais fácil de integrar:
Resolvendo essas integrais, teremos:
Passo 4
Agora é só juntar nossos resultados. Igualando as duas integrais obtidas e incluindo a constante de integração, vamos ficar com:
Repara que como deixamos a constante de integração para o final, dessa vez não vamos precisar nos preocupar com várias constantes de nomenclaturas diferentes.
Agora vamos reescrever ela? Não dessa vez! Devido à complexidade da equação não será possível escrever a resposta na forma explicita, somente na implícita como a gente fez logo acima.
Resposta
Onde C é uma constante