Considere a equação diferencial :
Ache a solução geral explícita desta equação diferencial.
Passo 1
Eu particularmente gosto de enunciado assim, bem diretão! O que ele quer da gente é simplesmente achar a solução geral dessa EDO. Vamos lá então. A primeira coisa que temos que perceber é que essa equação é separável.
Lembra lá da teoria? Pra sabermos se uma equação é separável ou não, precisamos que ela tenha a forma
Nesse caso acima é exatamente o que temos, onde
Para começar a resolução, nosso primeiro passo é simplesmente trocar por
Passo 2
Agora teríamos que isolar o termo , mas isso já está feito. Seguindo nosso passo a passo da teoria, nosso próximo passo é então separarmos para o lado esquerdo da igualdade tudo aquilo que está em função de , e tudo aquilo que está em função de vai para o lado esquerdo. Ficamos então com
Observe que a parte com a raiz passou dividindo para o lado esquerdo da igualdade, já que estava multiplicando quando estava do lado direito.
Pra ficar mais organizado podemos simplesmente reescrever isso como
Passo 3
Agora que já está separado, temos que aplicar a integral dos dois lados
Resolvendo primeiro o lado direito dessa igualdade temos
Ela é uma integral de polinômio, então teremos:
Onde é nossa constante de integração.
Observa que podemos tirar esse 2 de dentro da integral já que é apenas uma constante. Ficaremos então com.
Mas e o lado esquerdo?
Queremos resolver essa integral
Uma forma de fazer é lembrar que ela é uma integral “direta”, eu coloquei as aspas porque nem sempre é fácil lembrar que
Mas infelizmente isso aí é uma coisa que vamos ter de memorizar, porque essa integral é tabelada.
Passo 4
Voltando para a EDO, vamos substituir as integrais que achamos.
Antes tínhamos
Já descobrimos as integrais dos dois lados que foram
Como temos constantes dos dois lados da igualdade, podemos reescrever ela de um lado só
Por último agora precisamos isolar o y. Chato esse passo aí por que ele está dentro de um , né? Mas pra isso vamos precisar de uma propriedade que diz que:
Veja que o que está dentro do nosso será igual ao seno do resultado.
No nosso caso, e
Então teremos para a solução explícita
E com essa propriedade a gente encontra o resultado.